こんにちは。Horyです。
前回の記事では積分で面積が出る理由をまとめました。
今回から積分で面積を求める練習問題に取り組んでいきます。その第一歩としてこの記事では接線と曲線で囲まれる図形の面積を導出する問題に取り組もうと思います。比較的に簡単な問題なので気楽にやりましょう。
今回も頑張りましょう。
一応、積分で面積を求める時に意識しなければならない４つの事項をまとめます。
- 微分を完璧に→グラフ描けないと面積求めるのはムズい
- 対称性や周期性を特に意識せよ→簡略化
- 三角形・長方形・台形→積分を用いなくても求めれる面積は積分使わなくて良い
- 求める面積のフローチャート化(どの図からどの図を差し引く)→ミスが減る
問題 接線と曲線で囲まれる図形の面積
以下はこの記事で取り組む接線と曲線で囲まれる図形の面積に関する問題です。
これらの問題を例に解説していきます。
（１）解答・解説
（１）の解答・解説です。定石通りに導関数を求めて接線を導出します。また、接点の設定を行ってください。
（２）～（４）の下準備
（２）から（４）の下準備です。
まずはグラフを描いてみましょう。
（２）解答・解説
（２）の解答・解説です。
面積を部分積分を用いて求めます。前回の記事でも書きましたがlog xの部分積分は結果を暗記してください。
（３）解答・解説
（３）の解答・解説です。
複数の図形が絡みます。やり方は２つあります。
- 面積をフローチャート化して求める
- 一気に求める
２つの方法を個別に解説します。
面積のフローチャート化による導出
面積をフローチャート化して求めます。以下に図を示します。
台形などの面積は積分を使わなくても良いです。
一気に求める方法
２つの曲線の差をとって一気に面積を求めます。
自分で求めてみてください。フローチャートの方が簡単かもしれません。
（４）解答・解説
フローチャート化により面積を求めます。
どちらのフローチャートを用いても構いません。
上の方法は二番目のフローチャートを用いています。
