こんにちは。horyです。
微分において関数の概形(グラフ)を描くのは当たり前ですが、グラフの書き方・ポイント・手順を網羅できる人はあまりいないと考えています。
今回はグラフを描くときのポイント・手順を簡単にまとめようと思います。
今回の内容も重要ですので必ず理解してください。
頑張りましょう。
グラフの描き方と手順
以下にグラフの描き方と手順を個別にまとめます。
ステップ① 定義域の調査
まず、初めにやらなければならないことは定義域の調査です。
以下の４つの事項を意識します。
- 問題文の定義域
- 分母が0になってはならない
- ルートの中身は0以上である
- logの真数条件
これらは問題を解く前に必ず考えなければならないことです。
ステップ② 対称性と周期性
対称性と周期性は必ずしも調べる必要はないかもしれないですが、やっておくとグラフを描く手間が省けることは事実です。また、積分でも使えます。
これらを意識するだけで偶関数や奇関数と問題を解く前に分かればグラフを描く工程の「1/2」や「3/4」をカットできると考えれます。
また、証明は大学のフーリエ級数の分野になりますが、知識として以下のことは覚えておいてもいいです。
ステップ③ f’(x)を求めて必要であればf’’(x)調べる
「関数の増減」をf’(x)で調べて、必要であれば「関数の凹凸」をf’’(x)で調べます。
「関数の増減」や「凹凸」に関してはこちらの記事に詳しいことが書いてあります。
ステップ④ 増減表を書く
増減表はグラフを書く際は必ず書いてください。
これを書かないと採点者が採点しにくくなりますし、自分自身も何をやっているか分からなくなり、ミスの原因になります。
後で練習問題をやります。そこで増減表を書くので皆さんも答案に真似をして書いてください(口酸っぱく言いますが、必ず書いてください)。
ステップ⑤ 定義域の右側・左側極限
以下の二つの極限を意識します。
- 無限遠での極限
- 漸近線
漸近線には3種類のタイプがあります。
- x軸に平行な漸近線
- y軸に平行な漸近線
- 軸に平行でない漸近線
漸近線に関してはこちらの記事を見てください。
ステップ⑥ 特殊な点の座標を割り出す
特殊な点の座標を割り出してください。以下の二点があげられます。
- 軸との交点
- 極値や変曲点の座標
これはグラフを描く際にも書く必要があります。
練習問題
以下は実際にグラフを描く練習問題です。
これらのグラフを描いてみましょう。
（１）解答・解説
多項式関数のグラフです。微分方法はこちらの記事です。
定義域は実数全体です。
増減表を書きます。
無限遠での極限を考えます。
（２）解答・解説
三角関数のグラフです。微分方法はこちらの記事です。
定義域は問題文の通りです。また、この関数は奇関数であり周期関数です。
（３）解答・解説
三角関数のグラフです。
定義域は問題文の通りです。また、この関数は偶関数であり周期関数です。
（４）解答・解説
指数関数の微分です。やり方はこちらの記事です。
（５）解答・解説
対数の微分です。やり方はこちらの記事です。
真数条件より「x>0」です。
