こんにちは。Horyです。
以前の記事で微分には2つの目的があって、そのうちの1つが接線を求めることであると説明しました。
今回紹介するのは微分の二つ目の目的である「グラフを描く」ことです。微分と関数の増減に関して簡単に説明すると共にグラフが描ける原理を解説します。
微分と関数の増減
微分と関数の増減について、以下のカテゴリーに分けて簡単に解説します。
- 導関数の符号と関数の増減
- 極値の定義と極大値・極小値
導関数の符号と関数の増減
導関数の符号と関数の増減についてです。関数を以下のように定義します。
導関数の符号(y’の符号)は接線の傾きがどうなっているかを意味します。このことがめちゃくちゃ重要です。つまり・・・
- ある区間で「f’(x)>0」⇔接線の傾きが正⇔「f(x)が増加傾向」
- ある区間で「f’(x)<0」⇔接線の傾きが負⇔「f(x)が減少傾向」
極値について
極値とは「f’(x)=0」となる場合の関数の値です。
具体的に説明すると以下の場合に極値を取ります。
- 接線の傾きが0のときの関数の値
- 微分不可能な点・不連続な点でも極値を取る
次に重要なのが極大値と極小値です。
重要なのは以下の2点です。
- 「f(x)」が「x=a」で極値もつならば「f’(a)=0」・・・成立
- 「f’(a)=0」ならば「f(a)」は極大値または極小値・・・成立しない
二番目の話ですが、反例を示します。
二回微分と曲線の凹凸
関数の二回微分を行うと何が分かるのでしょうか？
答えは「接線の傾きの傾向」が分かります。 つまり、二回微分まで調べると関数の形状を完璧に描くことが可能になります。
- ある区間で「f’’(x)>0」⇔接線の傾きが増加傾向
- ある区間で「f’(x)<0」⇔接線の傾きが減少傾向
- ある点で「f’’(x)=0」⇔接線の傾きが増加傾向でも減少傾向でもない・・・変曲点
これら4つの条件で関数はどんなカーブを描くか図に表してみます。
数Ⅱの微分で二回微分を行う必要はないです。ただ、数Ⅲの微分で問題文に「凹凸を調べよ」という指示とかがある場合は二回微分で接線の傾向を調べる必要があります。
今後の記事では今までに学習した微分公式や計算練習を応用して関数のグラフを描く問題に関する記事が続きます。
