こんにちは。horyです。
前回の記事では数直線や座標平面上での点の位置関係についての記事をまとめました。
今回は座標平面における直線の方程式・点と直線の距離について簡単にまとめようと思います。
直線の方程式
中学校で散々習いましたが、直線の方程式は以下のように表せます。
以上は中学生までの表し方です。
高校では上の式を１つの式で表します。
直線の方程式を導出する
直線の方程式を導出します。
与えられている情報によって求め方が異なります。
- 通る一点と傾きの情報が分かっている
- 通る二点の情報が分かっている
それぞれの方法を個別に解説します。
通る一点と傾きの情報が分かっている
通る一点と傾きの情報が分かっている場合の直線の方程式を求めます。
以下の状況を考えてみます。
αを求めることができれば勝ちです。
上の式に点の座標を代入すればαを求めることができそうです。
以上で直線の方程式を導出することができました。
通る二点の情報が分かっている
通る二点の情報が分かっている場合の直線の方程式を求めます。
以下の状況を考えてみます。
やり方は２つあります。
注意点として二点のx座標が同じ値でないことが大前提です。理由は分母が0になることはあり得ないからです。忘れる人がいるので注意です。
やり方①
直線の方程式を以下のように仮定します。
上の式の傾きαと切片βを求めることができたら勝ちです。
二点の座標を代入して連立方程式を作ればできそうです。
これは中学生でやったと思います。高校では主に以下に示すやり方②を用います。
やり方②
二点の情報が分かっているので傾きを先に出してしまいます。
そもそも、傾きの定義は・・・
γを求めることができればいいです。
求め方は傾きと通る一点が分かっている場合の導出方法と同様に座標を代入して求めてください。
二点を通る直線の方程式は以下のようになります。
①も②も変形すれば全く同じ式になります。
二点を通る直線の方程式は上の形で覚えてしまっても差し支えないです。
二点のx座標が同じ値のとき
ちなみに、二点のx座標が同じ値の時について・・・
この条件を忘れやすいので注意です。
二直線の関係 平行・垂直
二直線を以下のように定義して平行・垂直な場合で以下の関係式が成立します。
垂直なときは傾きの積が「-1」になります。
このことを証明しようと思います。
二直線が垂直 傾きの積が-1の証明
証明方法は色々あります。パッと思いつくだけでも3つあって・・・
- 三平方の定理の利用
- 三角関数の利用
- 方向ベクトルと内積の利用
ちなみに、三角関数を用いる方法は以下の記事でやりました。
この記事では三平方の定理を用います。
傾きの積が-1であることを示せれば良いので二直線の交点を原点と考えても差し支えありません。
以下に図を示します。
三角形OPQで三平方の定理を用います。
以上から、二直線が垂直に交わるときは傾きの積は-1になります。
二直線の平行・垂直 一般形
二直線の平行・垂直を直線の一般系の形に帰着します。
上のように二直線を定義した場合の垂直・平行な条件式を考えます。
点と直線の距離 公式
点Aから以下の式で表される直線lに下ろした垂線の足をBとするとAB間の距離は以下のように表せます。AB間の距離が点と直線の距離です。
この式を導出しようと思います。
これも様々な証明方法があります。
点と直線の距離 公式の導出
座標と直線を以下のように定義します。
二直線の垂直条件の一般系を用いればl’は下のように表すことができます。
上の式が成立するにはkを実数として以下の式が成立しないとおかしいです。
確かに点と直線の距離は公式通りになります。
