こんにちは。horyです。
今回の記事では座標平面での三角形の面積公式・円と直線が接する条件について、問題と共に簡単にまとめました。
どちらの問題も点と直線の距離の公式を用いるという点で共通しています。
座標平面 三角形の面積公式
座標平面における三角形の面積公式を求める問題を紹介します。
この問題について解説します。
大前提ですが、O,A,Bの位置は三角形が成立する位置関係であるとします。
問題 解答・解説
まず、中学校で習った三角形の面積公式「面積=底辺×高さ÷2」を応用します。
今回は底辺をOAと考えます。
底辺をOAとすると高さは直線OAと点Bの距離(点と直線の距離)になります。
以上より三角形の面積を求めることが可能です。面積をSとすると・・・
覚えておくと得します。
円と直線が接する条件
円と直線が接する条件を求めます。以下は取り組む問題です。
まず、円は中心が(2,0)で半径が2の円です。
アプローチ主に２つあります。以下にまとめると・・・
- 点と直線の距離の公式を用いる
- 二次方程式にして判別式
以下の２つの方法について個別にまとめます。
やり方① 点と直線の公式を利用
点(円の中心)と直線との距離が半径に等しいことを利用します。
距離をdとします。
以上よりpの値を求めることができました。
やり方② 判別式を用いる
上の式を円の方程式に代入します。
上のyについての二次方程式の判別式は直線と円が接するので0になります。
判別式をDとします。
ここで、意外な落とし穴ですが、共通因数にpがあるからといって安易に約分してはいけません。
理由は下に示す記事にも書きましたが、p=0の場合もあるからです。
数学全般そうですが、このような些細なミスで減点されて足下をすくわれるというのがよくあるので注意してください。
以上により求めることができました。
やり方③ 平行移動を用いる (自分に都合の良いように)
実はやり方③があります。
以前、正四面体に関する記事で自分の都合の良いように座標を設定することの重要性を示しました。
今回は円の中心が原点になるように円Cと直線lを平行移動します。
平行移動後の円と直線をそれぞれC’とl’とします。
点と直線の距離を用いるなら・・・
となって上のやり方と同じ式が出てきます。
判別式を用いるなら・・・
として円C’の式に代入して判別式を用いれば良いです。
同じ式が出てきます。
