対数微分法 特殊な微分の原理 勘違いの克服

こんにちは。horyです。

今までに様々な関数の微分公式を微分の定義に従って導出すると共に練習問題にも取り組みました。

今回の記事では特殊な微分の1つである対数微分法の原理を紹介すると共に、勘違いしやすいポイントをまとめます。

今回も頑張りましょう。

対数微分法問題

以下に示すのはこの記事で取り組む問題です。

この問題を例に対数微分法について簡単に解説します。

まず、対数微分法は「xの関数の肩にxの関数が乗っている場合」に使われ、「両辺の対数を取る」ことが効果的です。

ただ、対数を取った後の微分について勘違いを生みやすいので、まずは間違った方法を示します。

また、対数を取るときは、真数が0より大きいことが前提となるので必要なら絶対値をつける必要があります。

まずは、間違った方法による解答を以下に示します。定石通り両辺の対数を取ります。

上に示す解答は間違っています。

理由として、上に示す解答は「右辺をxで微分しただけのもの」ですが、「yはxの関数y=f(x)」で表されています。つまり、両辺をxで微分したとき、左辺も微分されると言うことです(何か手を加えないといけない)。

以下に示すのは正しい方法による解答です。

対数を取った両辺をxで微分します。右辺の微分はできそうですが、問題は左辺の微分です。

①のように表せるかどうかが鍵になります。合成関数の微分が使えそうです。

以上から両辺を微分すると以下の等式が成立します。

以上により導関数を求めることができました。

これを踏まえて（2）にも取り組みましょう。

以下に（2）の解答・解説を示します。まずは、両辺の対数を取ります。