こんにちは。Horyです。
前回の記事では対称性のある図形の面積を求める問題に取り組みました。よく復習しておいてください。
今回の記事では媒介変数表示された関数が囲む面積を求める問題に取り組みます。
媒介変数表示については微分の記事でも詳しく述べたので是非、事前に読んでおいてください。
サイクロイドの囲む面積を求める
以下はサイクロイドの囲む面積を求める問題です。
この問題を例に解説します。
（１）解答・解説
この問題はすでに微分でも散々やったことなので色々と省略しながら書きます。
上に描いた曲線とx軸が囲む図形の面積を求めます。
（２）解答・解説
（２）の解答・解説です。
「媒介変数表示された関数の面積ってどうするの？」と思うかもしれませんが、やることは変わりません。私たちは関数y=f(x)とx軸で囲まれた図形の面積を求める時に以下のように立式して考えています。
上の式と同様なことをやれば良いだけです。
特に上の式で書かれた赤い部分の処理が非常に重要になります。
アステロイドの囲む面積を求める
以下はアステロイドの囲む図形の面積を求める問題です。
アステロイドに関しては微分でグラフを描いたことがなかったので（１）については省略せずに書きたいと思います。
ウォリスの積分公式についてはこちらの式をご確認ください。
（１）解答・解説
定義域は問題文に書いてあるので、まずは対称性です。
上の議論からこの曲線はx軸とy軸について対称でアルコとが分かります。
そのため、第一象限を考えます。(0≦θ≦π/2)
（２）解答・解説
（２）の解答・解説です。サイクロイドの面積を求めたときと同様の手法で行えばいいです。また、ウォリスの積分公式も利用します。
