こんにちは。horyです。
前回の記事では特殊な微分として「対数微分法」・「陰関数の微分」について学びました。
今回の記事では媒介変数表示された関数の微分について原理を理解すると共に練習問題に取り組みたいと思います。
媒介変数表示とは・・・
まず、媒介変数表示とは、直線や曲線において関係する変数との関係を他の変数を用いて表すことです。
例えば、座標平面上における円の方程式であれば「変数x,y」をそれぞれ「媒介変数θ」を用いて表すことが可能です。
これを踏まえて練習問題に取り組みます。
練習問題
以下に示すのは媒介変数表示された微分についての簡単な練習問題です。
この問題を例に解説を行います。
問題を解く前の下準備
問題を解く前の下準備です。（1）と（2）を言葉で説明できるかは非常に重要です。
自分が計算で求めるものや、計算している内容を言葉で説明できるようになってください。
このことは理系科目(特に物理)で非常に重要です。大学の物理とかでは微分演算子などの複雑な微分計算が出てきますが、計算の意味を言葉で説明できないと何をやっているか分からなくなります。
（1）解答・解説
（1）の解答・解説を以下に示します。
この問題は今までの記事をちゃんと理解していれば簡単に解けます。問題は(2)です。（2）の処理は物理でも非常に重要になるので必ず理解していただきたいです。
（2）解答・解説
（2）の解答・解説です。
- 青い部分；yをxで一回微分したものをθで微分する
- 赤い部分：xをθで微分したものの逆数
- 赤い部分と青い部分の掛け算を行う(処理を間違えないように)
上の式の色のついた部分の処理は是非とも頭に入れておいてください。物理でも多用します。青い部分を計算します。
（1）の答えをそのまま使えますね。
以上により求めることができました。
余談
余談ですが、求めた関数を座標平面上に図示してみます。
この曲線は「サイクロイド」という有名な曲線の1つです。まぁ、分かりやすい説明をするなら、「自転車の車輪にガムをつけて自転車を前に進めたときのガムの描く軌跡」です。 覚えておくと得します。
