こんにちは。horyです。
今回の記事では外心ベクトル・垂心ベクトルを求める問題に取り組みます。
外心や垂心の基礎事項はこちらに書かれているので事前に読むことをお勧めします。
また、ベクトルに関する以下の記事を事前に読んでおくことをお勧めします。
今回も頑張りましょう。
外心の位置ベクトル
以下はこの記事で取り組む外心の位置ベクトルを求める問題です。
この問題を例に解説します。
問題を解く前の下準備
問題を解く前の下準備です。
まず、外心は「三角形3辺の垂直二等分線の交点で外接円の半径」です。
状況を以下に図示してみます。
ひとまず、平面上のベクトルは任意の１次独立である二つのベクトルで表すことができるので・・・
前回の記事でも話しましたが、直角があるので内積が0であることを利用します。
問題 解答・解説
上で示した図の内容を整理します。
- OAの中点M⇔OA⊥MC⇔内積が0
- OBの中点N⇔OB⊥NC⇔内積が0
これらのことを利用します。
以上を用いて内積が0であることを利用します。
以上の①と②の連立方程式を解くことでx,yを求めることができます。
以上から外心の位置ベクトルを求めることができました。
垂心の位置ベクトルを求める問題
以下はこの記事で取り組む垂心の位置ベクトルを求める問題です。
この問題を例に解説します。
問題を解く前の下準備
問題を解く前の下準備です。
まず、垂心は「三角形の三頂点からそれぞれの対辺におろした垂線の交点」です。
状況を以下に図示します。
手法は外心の位置ベクトルを求める方法と同じです。
直角があるので内積が0であることを利用します。
問題 解答・解説
上で示した図の内容を整理します。
- AH⊥OB⇔内積が0
- BH⊥OA⇔内積が0
これらのことを利用します。
以上から内積が0であることを利用します。
以上により垂心ベクトルを求めることができました。
