こんにちは。horyです。
前回の記事では分数関数のグラフを描きました。
今回の記事では変曲点に関して点対称な関数のグラフを描く問題に取り組もうと思います。
今回も頑張りましょう。
問題 変曲点について点対称な関数
以下はこの記事で取り組む問題です。
この問題を例に解説します。
問題の解答はグラフを描く手順にまとめて掲載します。
ステップ① 定義域の調査
まずは、定義域の調査です。
対数であるため真数条件を考えます。真数は0より大きいです。
①と②のどちらの不等式を信用すればいいかですが、問題文にあるaとbの条件をよく考えてください。②の場合、xの範囲がおかしいことになるので①を選んでください。
ステップ③ 導関数と凹凸
ステップ②の対称性については順序を逆にします(問題文に変曲点で点対称であることが分かっているため)。
関数の二回微分について・・・
- 赤い部分は常に0より大きい
- 青い部分のみを意識すればいい
ステップ② 関数の対称性・周期性
ステップ③の結果から変曲点の座標を割り出します。
この関数が変曲点について対称であることを示す方法は二つあります。
- 変曲点のy座標が中点を示す
- 変曲点を原点に平行移動して奇関数であることを示す
二つの方法に関して個別に解説します。
方法① 変曲点のy座標が中点を示す。
変曲点のy座標が中点であることを示す方法です。実数をpと考えます。
よって中点のy座標が変曲点になるので変曲点について対称です。
変曲点のx座標から「pだけ進んだ」・「pだけ戻った」ときのxを関数に代入してy座標を求めることで中点を求めます。Logの中が逆数になっていることに気付いてください。
方法② 変曲点を原点に平行移動
変曲点を原点に平行移動して奇関数であることを用いる方法です。
個人的にはこのやり方が好きです。
以上より奇関数であることが示されました。
ステップ④ 増減表
増減表を示します。
余談ですが、変曲点を平行移動したF(x)を微分してグラフを描くのもありです。奇関数なので「x>0」の範囲のみを考えればいいですし、グラフ自体は後で平行移動した分だけ戻せばいいです。
ステップ⑤ 極限と漸近線
極限と漸近線を考えます。
これらを踏まえてグラフを描きます。
ステップ⑥ グラフ
以下に示すのはグラフの概形です。
