こんにちは。Horyです。
前回の記事では断面積の関数を求めて積分することで体積を求める問題に取り組みました(曲線を折る)。
今回の記事では簡単な関数について回転体の体積を求める問題に取り組みます。今回はx軸で回転させたときの回転体・y軸に回転させたときの回転体で二つの場合における手法について簡単に解説します。
特に、y軸の周りに回転させる方法はいろんな人がつまずきやすいです。逆関数がキーワードになります。
逆関数についての記事はこちらになります。
今回も頑張りましょう。
問題1 e^xに関する回転体
指数関数「y=e^x」に関する回転体の問題です。
この問題を例に解説します。
問題を解く前の下準備 図を描く
まずは、問題を解く前の下準備です。図を描きましょう。
- 赤い部分をx軸周りに回転⇒V1
- 緑の部分をy軸周りに回転⇒V2
（２）については逆関数が絡みますが、逆関数の積分は以下の二つのことを意識します。
グラフを利用する方法でy=xを利用するのは以下のようにすることです。
上の図の黒い斜線部の面積は同じになります。
（１）解答・解説
（１）の解答・解説です。回転体の体積を求める公式を利用します。
（２）解答・解説
（２）の解答・解説です。逆関数を利用します。
問題２ 対数関数y=log xに関する回転体
以下に示すのは対数関数に関する回転体を求める問題です。
この問題を例に解説します。
問題を解く前の下準備 図を描く
まずは、問題を解く前の下準備です。図を描きましょう。
f(x)の逆関数がg(x)です。なので・・・
まぁ、この問題は自習とします。上の式が成立することを自分で確かめてみてください。
