こんにちは。horyです。
今回の記事は少し重要な面積を求める問題になります。
以前、微分でグラフを求める最初の記事で周期関数のグラフを描く問題を出したと思います。
今回はこの記事の問題に関連する内容で面積が等比数列になることを利用する問題になります。
今回も頑張りましょう。
周期関数の計算問題
以下に示すのは面積を求める問題でなく、周期関数の積分問題への対処法を学ぶという意味での計算問題です。
この問題で重要なポイントは絶対値の処理です。
積分の中に絶対値があると非常にやりにくいので絶対値を外すために工夫することから始めましょう。
周期関数の計算問題 解答・解説
計算問題の解答・解説です。
まず、積分の中身を見て思うことですが、「πx」の形になっているのが非常に気持ち悪いです。なので、「t=πx」と置き換えてみます。
上の式の赤い部分の意味はsinの周期関数のn個のコブの面積を求めるという意味です。このn個のコブは全て同じ面積を持ちます。そのため、Σ記号を用いて表すことができます。
ここで、Σ記号の中身を考えます。ただ、積分の範囲が気持ち悪く、絶対値を外したいので工夫します(積分範囲を0からπにしたい⇔この範囲でsinは正)。
減衰関数の面積と等比数列
以下に示すのは減衰関数の面積と等比数列に関する問題です。
この問題を例に解説します。（１）の微分は解説を端折りながら行います。
（１）解答・解説
（１）の解答・解説です。微分の記事ではないので詳しくは解説しません。
F(x)を微分してグラフを描いた後、マイナスの部分を反転させれば求めたい関数のグラフを描けます。
（２）解答・解説
無限級数を求める前に、SnとSn+1の関係を知りたいです。
ひとまず、Pn-1とPnの座標を設定するところから始めましょう。
ここで、先ほどの計算問題でも言いましたが、絶対値が鬱陶しいので絶対値を外せるように範囲を0～πになるように細工しましょう。
ここで部分積分を行って地道に求める方法もありですが、連立方程式を用いて工夫しましょう。
これで、Snは等比数列になることが分かります。
無限級数の記事でも言ったと思いますが、「n項までの部分和→nを無限に飛ばす」が定石です。
