こんにちは。horyです。
今回の記事では合成関数の微分について、原理を導出しようと思います。僕は合成関数の微分を「置き換え微分」と呼んでいます。
合成関数の微分は数学Ⅲの微積分でよく使います。そのため、必ず理解していただきたいです。これが理解できないと数Ⅲの微積分はかなりしんどいと言わざるを得ません。
この記事を読む前に微分の基礎に関する以下の記事を読んでおくことをお勧めします。
今回も頑張りましょう。
合成関数の微分の前に・・・
合成関数の微分の前に以下のことを証明する問題に取り組みましょう。
まぁ、微分の定義を理解しているかのウォーミングアップ的な問題なので必ずできて星医です。
この２問を解いていきます。「和・差の微分」「定数倍」に関する微分の証明問題です。
（１）解答・解説 「和・差の微分」
和と差の微分に関する証明問題です。定義に当てはめましょう。
以上から「和・差の微分」に関して証明ができました。
（２）解答・解説 「定数倍」
定数倍の微分に関する証明問題です。定義に当てはめましょう。
以上から定数倍の微分に関する証明ができました。
合成関数の微分 原理の導出
ウォーミングアップも終わったところで今回の記事の本題です。合成関数の微分の証明問題に取り組みます。
上の等式を証明します。非常に重要な公式の１つです。
解答・解説 合成関数の微分
以下は解答・解説です。微分の定義を用いて解説するのですが、考え方が少し変わってきます。
このように「微小変化」と言い換えることができます。これを利用します。
そして、「Δx→0」であれば「Δu→0」であります。
以上から証明することができました。続いて、実践問題に移ります。
問題で合成関数を応用することについて、最初は慣れないかもしれませんが練習あるのみです。頑張りましょう
練習問題 合成関数の応用
以下はこの記事で取り組む練習問題です。
これらの問題を例に解説します。ちなみに、多項式関数の微分にて、以下の公式が成立すると前回の記事で言いました。
上のことは次数が自然数でなくても成立します。
練習問題 解答・解説
以下は練習問題の解答・解説です。
余談ですが、文字で置き換えた後に放置しないようにしてください。練習あるのみです。
