双曲線の性質 原理と本質の理解

こんにちは。Horyです。

前回の記事では放物線と楕円の性質について原理と本質を学びました。

今回の記事では双曲線の性質について原理と本質を取り上げたいと思います。基本的に数Cで取り上げる二次曲線は「放物線・楕円・双曲線」の三つになります。

今回も頑張りましょう。

数学における双曲線の定義

数学における双曲線の定義は「2定点F,F’からの距離の差が0ではなく一定値をとる点の集合」が双曲線です。方程式は以下のように表せます。

以下に上の放物線の図を示します。漸近線も示しています。

以下に上に示した双曲線の方程式を導出します。数学における双曲線の定義は「2定点F,F’からの距離の差が0ではなく一定値をとる点の集合」が双曲線です。

定義式に当てはめてみます。

以上により確かに双曲線の式を導出することができました。

双曲線の漸近線を証明します。双曲線の方程式は先に示した通りです。

以上から双曲線の漸近線がg(x)であることが証明されました。漸近線に関する記事はこちらにもありますので良かったら見といてください。

双曲線の接線を考えます。楕円や放物線の時と同様に陰関数の微分が使えますね。

上の式の青い部分が双曲線の接線の方程式です。

以下に示すのは双曲線の基本的な問題です。基本問題なので必ずできるようになってください。

こちらの問題に取り組みます。察していると思いますが、放物線や楕円の時と同様に以下の手順で求めます。

この手順で問題を攻略します。

題意の放物線は基本形を「z軸方向に+2」・「y軸方向に-3」だけ平行移動した双曲線です。

基本形の焦点と漸近線を求めます。