双曲線の応用 接線と角の二等分線

こんにちは。Horyです。

今回の記事では双曲線の応用問題に取り組みます。双曲線の基本性質の記事はこちらです。

双曲線の接線と角の二等分線の問題に取り組みます。今回も頑張りましょう。

双曲線接線と角の二等分線

以下に示すのは双曲線の応用問題で、接線と角の二等分線に関する問題です。

以下に図を示します。

要するに二等分線であることを示したいなら、接線とx軸との交点をQとすると、辺の比について、「PF：PF’=QF：QF’」を示せば良いですよね。

また、この双曲線はｘ軸とy軸について対称です。P(±A,0)の時は成立します。だから、第1象限の時のみを考えれば良いですよね。

焦点の座標は上の図のように一旦設定します。

問題の解答・解説です。

次に、右辺の辺の長さPFとPF’を求めます。これの比が右辺と一致すれば勝利です。

ところで、簡単のために焦点をcとおいていましたが、焦点はA,Bを用いて表せますよね。

同様にPF’の長さを求めます。

以上から辺の比が同じになるので接線は∠FPF’を二等分します。