こんにちは。Horyです。
放物線・楕円の応用問題を解いて最期に残ったのは双曲線の応用問題です。
双曲線の基本的な性質はこちらの記事に書いたので事前に読んでおいてください。
今回の記事では双曲線とその漸近線に関する面白い性質を証明する問題を紹介します。
今回も頑張りましょう。
問題1 双曲線と漸近線 面積が一定
以下に示すのは双曲線とその漸近線が作る点でできる三角形の面積が一定値を取ることを証明する問題です。
この問題を例に解説します。以下に図を示してみます。
上の図のように座標を取って考えます。
中点であることの証明
まず、Pの座標を設定しますが、式が複雑になることを避けたいので座標の設定を工夫します。
接線と漸近線を連立させることで交点の座標を導出し、線分の中点を出せば良いだけです。
以上により中点がPであることが示されました。
三角形の面積が一定値
数学Ⅱで習った座標を利用する三角形の面積公式を利用します。
以上によりcやsによらないので一定値でということが示せました。
問題2 双曲線と漸近線 線分の長さが等しい
以下に示すのは双曲線と漸近線の問題で線分の長さが等しいことを示す問題です。
この問題を例に解説します。以下に図を示します。
問題2 解答・解説
この問題に関してですが、P,Qのx座標を具体的に求めない方が良いです。二次方程式で求めることになるので非常に汚くなります。
じゃあどうすれば良いのか・・・PQの中点のx座標がRSの中点のx座標ということを示せば良いです。
二次方程式の解と係数の関係で間接的に示す方法がありますね。
ここで、「y=±b/a x」で漸近線を定義してはダメな理由ですが、二次方程式の２解の和を利用できなくなるからです。
- ①は直線と双曲線の交点の方程式
- ②は直線と漸近線の方程式・・・漸近線の方程式も二次方程式の方が都合良い
以上から線分PQと線分RSの中点のx座標が一致するのでPQ=RSです。
