こんにちは。Horyです。
前回の記事では弾性力について解説しました。
今回の記事では高校物理で多くの人が苦戦する単振動について解説します。
現状の高校物理では単振動の運動方程式(微分方程式)を解く時に完全に暗記になります。
私はこの運動方程式を暗記で覚えることは物理の本質に反すると思うので今回は単振動について、大学の微分方程式を用いて運動を記述したいと思います。
この記事を読む前に微分方程式に関するこちらの記事を読んでおくことをお勧めします。
単振動とは・・・
単振動を簡単に説明すると「バネによる物体の往復運動」になります。
物体をバネにつけてバネを自然長から伸ばす(縮める)と物体はバネからバネの変化を妨げる向きの力を受けて往復運動します。
前回の記事でも書きましたが、図を示します。
上の図からバネを「伸ばしたとき」と「縮めたとき」で一次元直線上において座標軸をどのように取ったとしても運動方程式は以下のように記述できます。
運動方程式はベクトル表記で記述します。
上の運動方程式を解いて物体の速度・位置の時間変化を記述することを目標にします。
単振動型微分方程式
僕は上で説明した運動方程式で記述できる微分方程式を単振動型微分方程式と呼んでいます。
この微分方程式は高校物理の範囲外になるので高校物理では単振動は暗記になりますが、この記事では微分方程式を解いていきます。
ここで、λを代入すれば良いですが、この部分が高校数学の範囲を超えています。
ところで、皆さんはオイラーの公式というのを知っているでしょうか？
上の公式は成立します。証明はこちらの記事で行っているので必要なら見といてください。
ここで、λの解が2つあることに注意すると、解は以下のように書くことができます。
ここで、初期条件を用いて定数のC1とC2を求めていきます。
初期条件により定数の値は異なります。
初期位置(t=0)の座標がX、速度が0
時刻t=0の時を物体が接するバネを伸ばしたとき(縮めたとき)とします。
定数を求めることができたので位置と速度の式に代入します。
以上で初期条件を求めることができました。
式をグラフに表してみます。上で求めた式は位置・速度・加速度で全てベクトル量であることに注意してください。
また、バネを伸ばした状態を時刻t=0として、座標軸を以下の図のように取るとします。
この初期条件で設定した文字の物理的な意味を説明します。
初期位置(t=0)の座標が0、速度が(-ωX)
時刻t=0の時を物体が最初に物体が原点を通るときとします。先ほどの説明で原点を通るときに速さは最大になるので速度を(-ωX)とします。
そのため、座標軸の正の方向は上の説明と同様とします。
定数C1とC2は初期条件が違うので以下のようになります。
定数を求めることができたので位置と速度の式に代入します。
以上で初期条件を求めることができました。
式をグラフに表してみます。上で求めた式は位置・速度・加速度で全てベクトル量であることに注意してください。
高校物理では初期条件がこの状態の単振動の位置・速度・加速度を公式として暗記させようとしてきます。
だから、初期条件とかを何も考えもせずに暗記した公式に当てはめて間違う学生が多発してしまうのです。
公式の丸暗記だけは絶対にやめてください。
運動方程式を考えるときに力の向きと大きさを考えることも大事ですが、t=0の初期条件がどういう状態かにも目を向けてください。
補充問題
以下に示すのは補充問題です。
座標軸の向きについて、左向きを正にしたときに上の2つの初期条件で単振動の位置・速度・加速度の時間変化の式を導いてください。
以下のような図の場合でバネを自然長から伸ばすとします。
- 初期位置(t=0)の座標がX、速度が0
- 初期位置(t=0)の座標が0、速度が(-ωX)
答えは同じになりますが、グラフは違います（具体的にはグラフの正負が逆転する)。
座標軸がこの条件だと座標としてみたときのXが負(マイナス)であるからです。
グラフも自分で書いてみてください。
本当にしつこく何度も言いますが、自分が求めている式や扱っている式がベクトルかスカラーであるかは常に意識してください。
ベクトルには向きと大きさがあります(必ず意識してください)。私がここに書いた位置・速度・加速度に関しては全てベクトル量です。
