こんにちは。Horyです。
皆さん、区分求積法ってご存じでしょうか？
区分求積法は高校の数学だと余り触れずにサラッと説明して終わりって言う印象がありますが、
実は、区分求積法は積分の基本であり、超重要な内容です。というか、積分で面積を求めることの本質が区分求積法になります。
今回の記事では、区分求積法の原理と本質を理解すると共に、練習問題に取り組みます。
今回も頑張りましょう。
区分求積法
そもそも、区分求積法をかみ砕いて説明すると・・・
無限に幅を狭くして区分けした長方形(線と見なせる)を足し合わせれば曲線が囲む面積に無限に近い近似を得ることができる⇒「それって面積だよね」って寸法です。
つまり・・・
- 細い線を無限に足し合わせれば平面になる
- 薄い平面を無限に足し合わせれば立体になる
上の２つのことを数学的に示しているだけにすぎません。
このことを頭に入れておいてください。今回は細い線を無限に足し合わせれば平面になることを説明します。
区分求積法 数学的な解釈
先に説明したことを数学的に解釈します。
上の式において、「a=0∩b=1」という条件を考えます。
正直、数式のみでの説明では何をやっているかよく分からないと思うので図を描いて考えてみます。
区分求積法 図形的な解釈
以下に図を示します。
赤い斜線部の面積がそれぞれの数式です。
区間「a≦x≦b」をn等分して分点をそれぞれ以下のように設定しました。
ここで、①、②、③の面積についてそれぞれ説明します。
- ①；関数f(x)とx軸が囲む部分の面積
- ②；幅がΔxの長方形n個の面積の和 (高さをk-1側に取る)
- ③；幅がΔxの長方形n個の面積の和 (高さをk側に取る)
このことを表しています。
さて、上の図の②と③において、nを無限大にして幅を極限まで狭くした場合を考えてみてください。近似的に面積を求めることができますよね。これが区分求積法です。
区分求積法の問題においては「a=0∩b=1」の条件を利用する問題がよく出ます。
機械的に当てはめて問題を解いている人が多いですが、必ず本質を理解して問題に取り組んだ頂きたいです。
区分求積法 簡単な問題
区分求積法を用いた簡単な計算問題を紹介します。
これらの計算問題に取り組もうと思います。意識すべき点を以下に示します。
- とにかくΣ表記にせよ
- 「1/n」を出してΣの中に「k/n」を作る
- 「k/n→x」にして積分する
- 問題によっては積分範囲にも注意せよ
上の四点を意識して問題に取り組みます。
（１）解答・解説
与えられた式をΣで表します。
（２）解答・解説
与えられた式をΣで表します。
ここまでできたら後は部分積分でできます。自習とします。
（３）解答・解説
対数を取るのが効果的ですね。
