こんにちは。horyです。
みなさん。加法定理を覚えていますでしょうか？
加法定理の「和→積」・「積→和」の公式は盲点になることが多く、そもそも知らないという人も多いように感じます。
今回の記事では加法定理の「和→積」・「積→和」の公式を原理から導出すると共に、問題にどのように応用していくかを中心に記事をまとめました。
必要なら以下の記事を読んでおくことをお勧めします。
加法定理のおさらい
加法定理の公式は以下の通りです。原理の導出は昔の記事で書いたため、ここでは省きます。
今回はsinとcosのみまとめます。
この4つの公式をこねくり回すことで得られる式が「和→積」・「積→和」の公式です。
「積→和」の公式
積を和にします。
積を和(差)ににしています。
sinどうしの積・cosどうしの積を見かけたら「積→和」の公式の可能性を考えても良いと思います。
「和→積」の公式
角度について、以下のように考えます。
「積→和」の公式をAとBを用いて表します。
「積→和」の公式を応用して完成するのが「和→積」の公式です。
パッと出てくる人が非常に少ないと感じるので導出原理を頭に入れた方が良いと思います。
問題
以下はこの記事で取り組む問題です。
（2）ができない人が多い印象です。
（1）解答・解説
以下に（1）の解答・解説を示します。
まず、sinとcosが入り交じっているので定石通り、cosに統一します。
x+yの範囲を考えると・・・
（2）解答・解説
半角の公式を用いて次数下げを行います。
ここから、どうしたものか？と思いますが、「和→積」・「積→和」の公式を活用します。
上の式の赤い部分を利用すると・・・
ここで（1）の「x+y=π/3」⇔「y=π/3-x」を利用します。xの式のみで表します。
以上から最大値・最小値を求めることができます。
