こんにちは。horyです。
前回の記事では剰余の定理を用いて余りを求める基本問題について簡単にまとめました。
今回の記事でも同様の内容をやりますが、割る式に二乗がある場合の余りを求めます。
割る式に二乗がある場合の攻略については「やり方」を知らないとできないことが多いです。そのため、「やり方」を知らない学生は大体ペンが止まります。
今回の記事では割る式に二乗がある場合の整式の余りを求める問題の攻略法を簡単にまとめます。
問題1 割る式に「二乗」がある場合の余り
以下に今回の記事で取り組む問題を示します。
この問題を例に解説します。
問題を解く前の下準備
まず、問題の状況を簡単にまとめます。
以上の式を簡単にまとめます。
また・・・
以上を利用すると次の2式が成立します。
以上で下準備は完了です。
やり方は３通りあるので個別に紹介します。
やり方① オーソドックスなやり方
のように式を立てましたが、「a,b,c」の3つの未知数を求めることができないように思えます。やり方を知らない人はここで諦めてしまいます。ただし余りについて・・・
のように考えることができます。というか、こうならないと(x-1)^2で割ったときの余りが2x-1になりません。
「x=-1」を代入することでaの値を求めます。
やり方② 比較の利用
上の内容を式①に代入します。
上の式の①’と②’が等しいので・・・
やり方③ 微分を用いる 重複因子
微分を理解している人は数Ⅲの微分を用いて解くこともできます。
両者を比較します。
これを利用すると・・・
問題2 ２乗で割れるための条件 微分使う
問題2は二乗で割れるための条件式を導出する問題です。
この問題を例に解説します。
この問題は微分を用います。
問題を解く前の下準備
問題を解く前の状況整理です。
ポイントですが、「割り切れる条件」・「割り切れることを示せ」という問題において、「割った余りを求めろ」という事象をつけるのがおすすめです。
この問題も余りを自分で設定します。
①と②に「x=α」を代入します。
割り切れるので、余り＝0です。そのため・・・
問題3 割られる数がn乗
以下は割られる数がn乗の問題です。
この問題を例に解説します。
（１）問題を解く前の状況整理
（１）解答・解説 剰余の定理
剰余の定理を用いて問題を解きます。
（２）問題を解く前の下準備
（２）解答・解説 微分を用いる
微分を用いて余りを求める方法です。
①と②のそれぞれに「x=-1」を代入します。
（２）別解 二項定理を応用する
ちょっと変わったやり方ですが、二項定理を応用する方法があります。
二項定理に関する記事はこちらです。
上の式の青い部分が余りになります。
二項定理を応用すると簡単になります。
