こんにちは。horyです。
三角関数の重要定理の一つに「余弦定理」というものがあります。
丸暗記していませんか？
今回の記事では余弦定理の原理と利用法について簡単に記事をまとめました。
余弦定理
余弦定理とは三角形ABCを考えたときに成立する以下の公式のことです。
以下に図を示します。
この公式の成立を証明します。 証明方法はたくさんありますが、この記事では垂線を用いる方法で証明します。
余弦定理の証明
余弦定理の証明は三角形の角度によって証明方法が異なります。
今回は∠Aがどうなるかで場合分けです。
- ∠Aが鋭角
- ∠Aが直角
- ∠Aが鈍角
∠Aが鋭角のとき
以下に図を示します。
三角形BHCが直角三角形であることから三平方の定理を利用します。
残りの２式に関しては辺A,Cからそれぞれに垂線を引いて同様の議論に持ち込めば成立します。
∠Aが直角のとき
直角三角形のときは簡単です。
三平方の定理より・・・
以上により成立します。
残りの２式はAからBCに垂線を引いて鋭角のときと同様の議論に持ち込めば証明できます。
∠Aが鈍角のとき
鈍角の時はちょっと工夫が必要です。
以下に図を示します。
余弦定理の利用法
余弦定理は3辺の情報が分かっていれば角の情報を導出することが可能です。
辺の情報が多い時は汎用性が高いです。
また、公式を利用して面白いことが言えます。
①について分母は必ず正の値をとります。
分子の符号がどうなるかで角度の情報が分かります。
また、「角度の大きさ」と「辺の長さ」が対応していることが分かります。
つまり、角度の大きさが大きければ大きいほど、対辺の長さも大きいことが言えます。
余弦定理は面白いです。
