こんにちは。horyです。
二次関数の問題で、限られた情報から二次関数を決定するという問題があります。
基本的な問題だけに必ず押さえておきたい分野になります。
今回は「二次関数の決定」問題に関して簡単にまとめました。
必要なら以下の記事を読んでおくことをお勧めします。
問題を解く前に・・・
問題を解く前に、問題文から以下のことが分かるかどうかを意識します。
- 頂点や軸の情報が分かっている・・・①
- 通る点の情報のみ分かっている・・・②
- 二次方程式と見たとき2解の情報が分かっている・・・③
それぞれの場合について、どのように二次関数の式を定義すれば良いかを以下に解説します。
① 頂点や軸の情報
①の場合は二次関数の式を以下の形で定義します。
上の式は二次関数の式の基本形なので覚えておくようにしましょう。
② 通る点の情報のみ
②の場合は二次関数の式を以下の形で定義します。
この式に座標を代入してa,b,cを地道に求めます。
大抵は方程式が3つ出てくるので計算するしかありません。
③ 二次方程式と見たとき解の情報
③の場合は二次関数を二次方程式として見ます。
二次方程式の解をx=α,βとして、以下の形で定義します。
練習問題
基本的に「二次関数の決定」問題は上の３つのやり方で考えるのが王道です。
以下は練習問題です。
以上の計４問を解説します。
（１）頂点の情報が分かっている
（１）は頂点の情報が(1,1)で分かっています。
そのため、二次関数の式を①の式で定義できます。
上の式が(2,5)を通ることを利用してaの値を求めます。
（２）頂点の情報が分かっている
一見すると頂点の情報が分からないように見えますが・・・
二次関数の頂点で接する接線を引くと、傾きは0でx軸に平行です。
問題文から(2,0)で「x軸に接する」とあるので、(2,0)が頂点です。
上の式が(1,-2)を通ることを利用してaの値を求めます。
（３）頂点が一次関数上にある・解の情報
この問題は「頂点が一次関数上にあること」を用いる方法と「解の情報」を用いる方法の２つのやり方に分かれます。
「頂点が一次関数上にあること」を用いる方法はこの問題では悪手です。
一方で、「解の情報」を用いる方法は賢いです。
「頂点が一次関数上にあること」を用いる_悪手
(1,0)と(2,0)を通ることから代入して方程式を２つ作ります。
２つの方程式ができましたが、どちらもtについての二次方程式でちょっと複雑です。
正直、あまりやりたいとは思いません。
(ゴリ押しで計算すればできますが・・・)
ただ、この方法で解ける問題もあるので、やり方自体は頭に入れておくべきです。
「解の情報」を用いる_スマート
(1,0)と(2,0)を通ることから、二次方程式と見たとき、x=1,2を解に持つと捉えることができます。
このことを最大限利用します。
この二次方程式を以下のように表します。
上の２つの式は同じ二次関数を表しています (一致する)。
そのため・・・
（４）通る点の情報のみ分かっている
通る点の情報のみ分かっている場合です。
と二次関数の式を定義して、(-1,-6) (1,2) (2,-3)を代入して方程式を3つ作ります。
後は地道に計算してa,b,cを求めます。
まとめ
今回は「二次関数の決定」問題に関して簡単にまとめました。
基本的な問題が多いのでよく復習しておいてください。
それでは、次回の記事でまたお会いしましょう。
