二次関数の最大値・最小値_ 絶対値の入った二次関数

こんにちは。horyです。

二次関数の最大値・最小値の問題の中でも「難しい」とされるのが「絶対値を含んだ二次関数」の最大値・最小値に関する問題です。

今回は「絶対値を含んだ二次関数」の最大値・最小値について記事をまとめました。

必要なら以下の記事を読んでおいてください。

絶対値の入った二次関数

以下は「絶対値の入った二次関数」の問題です。

上の問題を例に解説を行いたいと思います。

問題を解く前のポイントをまとめます。

下準備がかなり多いのでついてきてください。

絶対値の外し方ですが、絶対値の中身が「0以上」「0未満」で場合分けです。

f(x)=0のときのxをまず求めてください。求め方は二通りです。

本問であれば因数分解です。

F1(x)とF2(x)のグラフの形・「平方完成」を行い軸と頂点の情報を読み取ります。

F1(x)は「上に凸の二次関数」です。

F2(x)は「下に凸の二次関数」です。

これでそれぞれのグラフの情報は読み取れました。

座標平面上にグラフを描いてみます。以下にグラフを示します。

今までの「最大値・最小値」の問題ではグラフを描かずに「範囲に対する軸の位置」のみで場合分けしてきましたが、「絶対値の二次関数」はグラフを描いてみた方が良いです。

次に場合分けです。
ただ、場合分けは一筋縄ではいきません。

「軸」が範囲内にあるときは簡単ですが、
以下の図のようなaをどうやって求めるかです(大抵、ここで止まります)。

最大値が上の図のように２つ存在するときの「aの値」を求める必要があります。

上の図の範囲を「左にスライド」させるか「右にスライド」させるかで最大値は異なります。

aの値を求めてみます。

以上で下準備は完了です。

以下に本問の解答・解説を示します。

以下は補充問題です。

ヒントは「範囲」に対して「F1とF2の境界」がどこにあるかです。

例題の応用です。「aが全ての実数の範囲で変化する」ので場合分けが複雑になります。

ただ、考え方は例題と同じです。