こんにちは。horyです。
今日は二次関数と解の配置に関する問題の攻略について記事に簡単にまとめました。
この記事を読む前に以下の記事を読んでおくことをお勧めします。
特に「二次不等式と二次関数」の記事は必ず読んでおいてください。
この記事に解き方のポイントとかは書いてあるので、今回の記事でその部分については省きます。
二次関数と解の配置問題
以下はこの記事で取り組む問題です。
この問題を例に解説していきます。
（1）～（3）共通の条件
（1）～（3）共通の条件として「実数解をもつ」ので「判別式D≧0」です。
そして、この二次関数は「下に凸の二次関数」です。
上の条件は（1）～（3）共通です。
(1) 解答・解説
範囲が指定されているので軸の位置です。
軸の位置が以下のような場所にあれば実数解がともに2より小さいです。
次に端点値での符号です。
「判別式」「軸の位置」「端点値での符号」の条件を合わせます。
以下の数直線の共通部分より・・・
（2）解答・解説
グラフが以下のようになれば題意を満たします。
以上を判別式Dの条件と合わせると・・・
極論、f(2)での符号が負の値であれば2より小さい解と大きい解を必ず持ちます。
（3）解答・解説
二つの方法があるので個別に説明します。
ただ、一つ目のやり方はお勧めしません。
やり方①_「余事象」を用いる
まず、お勧めしない考え方ですが・・・
「少なくとも1つが2より小さい」→「少なくとも」→「余事象」のように考えがちですが、かえって複雑になります。
ちなみに、「余事象」を「2より小さい解は一つもない」のように考えがちですが誤りです。
正しい「余事象」は「2より小さい実数解をひとつももたない」です。
なので、余事象で考える場合、虚数解も考えることになるのでかえって複雑になります。
問題文に「少なくとも」があるからといって何でもかんでも余事象に当てはめるのはやめた方が良いです。
やり方②_「和事象」を用いる
- （1）二つの解が共に2より小さい
- （2）2より小さい解と大きい解 (一つが2より小さい)
- （3）少なくとも1つが2より小さい
（3）は（1）と（2）の和事象であることに気づきます。
以上より・・・
最後に
二次関数と解の配置問題はグラフの利用だけでなく「二次方程式の解と係数の関係」を用いても解くことが可能です。
「解と係数の関係」を用いる方法は別の記事で紹介します。
それでは、次回の記事でまたお会いしましょう。
