こんにちは。horyです。
今回の記事では二次不等式と二次関数を対応させた問題についてまとめました。
必要なら以下の記事を読んでおくことをお勧めします。
問題を解く前に・・・
二次関数と二次不等式・解の配置を絡めた問題を解く前のポイントを以下にまとめます。
「解と係数の関係」を用いて解くのもアリですが、今回は二次関数のグラフを用いて解きます。
判別式の符号
まず、判別式Dの符号 (頂点のy座標の符号)を考えます。
実数全体で考えるとき、問題文の条件から・・・
- 異なる2つの解を持つ・・・D＞0
- X軸に接する・・・D＝0
- 実数解を持たない・・・D＜0
慣れると判別式を見落としやすいので注意が必要です。
ただし、問題によっては使わない場合もあります。
軸の位置
範囲が指定されるときがあります。
範囲に対して軸がどこにあるかということは大切です。
平方完成をするなどして「軸」と「頂点」の位置を事前に読み取っておきましょう。
端点値での符号
範囲が指定されているときで・・・
「a≦x≦b」で考えるとしたら「x=a」「x=b」での符号が大切です。
「軸の位置」と合わせて考えられると非常に良いです。
問題
以下はこの記事で取り組む問題です。
この問題を例に解説します。
（1）解答・解説
判別式「D＜0」を適用します。
（2）解答・解説
「-2≦x≦2」の範囲で「f(x)＞0」であれば良いです。
「x軸との共有点」については言及がないので「判別式」は使わなくても良いです。
ただ、「範囲」に対して「軸がどこにあるか」は場合分けしないといけないです。
この問題は「最小値が0より大きくなるaの値」と言い換えることが可能です。
この二次関数は「下に凸」です。
「平方完成」で「軸」と「頂点」の情報を読み取ります。
以下の図から軸が範囲に対してどこにあるかで場合分けです。
その後、端点値での符号を考えます。
