こんにちは。horyです。
数Ⅰの「二次関数の最大値・最小値」や数Ⅱの「軌跡と方程式」における応用問題の一つに「予選・決勝法」を用いた最大値・最小値の問題があります。
「予選・決勝法」を用いた最大値・最小値の問題は大抵、二変数関数を扱います。
今日はこれらの問題の攻略について記事をまとめました。
予選・決勝法とは・・・
まぁ、いきなり予選・決勝法と言われても分からないので簡単に説明します。
x,yについての二変数関数の最小値(最大値)を求める問題について考えます。
予選・・・x,yのどちらかを固定し(定数とみる)、一変数関数として最小値(最大値)を考えます。
決勝・・・予選の最小値(最大値)について、固定した文字を動かして最小値(最大値)を求めます。
ここまで説明してもやってみないと分からないと思いますので以下は練習問題です。
予選・決勝法_問題
以下はこの記事で取り組む問題です。
この問題を例に解説します。
（1）解答・解説
まず、x,yのうちのどちらかを固定します。基本的には次数が大きい方(難しい方)を固定します。
今回はx,yのどちらも二次式のためyを初めに固定します。
予選
yを固定してxを動かすことで最小値を求めます。
以上より予選から導出した最小値は・・・
決勝
予選から導いた最小値について、yを動かして最小値を求めます。
よって決勝によって求めた最小値は・・・
「x=y=-1」のとき、「最小値-4」
（2）解答・解説
(2)は(1)と比較してひねりがあります。
範囲が制限されています。「第一象限」のため・・・
問題が複雑になると領域も複雑になるので図示することをお勧めします。
予選までは(1)と同じなので省きます。
決勝
「y≧0」なので、最小値はy=0のときです。
「x=y=0」のとき「最小値は5」
予選・決勝法_応用問題
以下は予選・決勝法の応用問題です。
今回は「xは二次式」・「yは一次式」なので、難しい方のxを固定します。
また、領域を図示すると以下のようになります。
予選
上の式をyの関数として見ると直線です。
傾きの正負が不明のため、予選では最小値や最大値の判別は不明です。
しかし、直線のため端点値での値が必ず最大値・最小値になります。
よって「最大値・最小値」の候補は・・・
以上で予選は終了です。
決勝
「0≦x≦3」の範囲でg(x)とh(x)のxを動かして最大値・最小値を求めます。
二つのグラフを以下に図示します。
上の図も考えると・・・
