こんにちは。horyです。
今回の記事では三角関数を用いる二変数関数の最大・最小の問題について記事をまとめました。
非常に良い問題になっています。
必要ならば以下の記事を読んでおくことをお勧めします。
- 加法定理まとめ 原理と応用 θ=15°・75°
- 加法定理の応用 倍角の公式・半角の公式・3倍角の公式
- 加法定理の応用 三角関数の合成 sinかcosどっちで合成？
- 三角関数の最大値・最小値 三角関数の合成を用いる
- 三角関数の最大値・最小値 倍角の公式・半角の公式を用いる
二変数関数の最大・最小と三角関数
以下はこの記事で取り組む問題になります。
上の問題を例に解説します。
この問題が良問である理由は、「三角関数の合成」・「倍角の公式」・「半角の公式」・「和と積の関係」の全ての知識を利用するためです。
問題の基本方針
問題の基本方針についてです。
一見、二変数関数で解けないと思いがちですが・・・
x,yが「原点中心で半径√3の円」上を動くことから、円に拘束することでθのみの関数にできます。
つまり「2変数→1変数」にできるということです。
また、yの範囲が「y≧0」であることから、「0≦θ≦π」の範囲で考えます。
最初はθの範囲が書いていないので困惑するかもですが、x,yの条件から自分で作るしかないです。
x,yに条件がなければ、0≦θ≦2πと考えれば良いです。
（1）解答・解説
また、θの範囲から・・・
以上より、最大値と最小値は・・・
（2）解答・解説
倍角の公式・半角の公式を利用して「二次→一次」にします。
赤い部分をf(θ)と考えます。
また、θの範囲から・・・
以上より、最大値・最小値は・・・
（3）解答・解説
以上により、x,yの和と積で表せるので利用します。
以上により、tのみの関数で表すことができます。
上の式の赤い部分をg(θ)とおきます。
tの三次関数を微分して最大値・最小値を求めます。
以上より、最大値・最小値は・・・
補充問題
練習問題の応用です。
「原点中心で半径√3の円」を「x軸に+1・y軸に+2だけ平行移動」したと考えると・・・
一変数化できそうです。
（3）とかは計算が大変かもですが、あとは自分でやってみてください。
