二回微分を踏まえる問題 数Ⅲの微分

こんにちは。horyです。

前回の記事では主に数Ⅲの微分を用いてグラフを描く問題に取り組みました。

今回の記事では二回微分を踏まえた問題に取り組みます。

今回も頑張りましょう。

問題1 二回微分を踏まえる最小値

以下に示すのは最小値を求める問題で二回微分を踏まえる問題です。

基本的に一回の微分でダメなら二回微分を踏まえる必要があります。また、この問題は最小値を求めるのみなのでグラフを描く必要はありません。

問題1の解答・解説です。

関数の二回微分はxが正の範囲では必ず0より大きくなります。つまり、f’(x)は増加傾向にあるということです。また、f’(0)=0なので、関数そのものも増加傾向にあります。

以上からこの関数は「x≧0」で増加関数です。

以下に示すのは最小値を求める問題で二回微分を踏まえる問題です。

この問題を例に解説します。

一回微分しても増減が分からないので二回微分します。

ここで、意外な落とし穴ですが、分母を0にすることはできません。方程式の記事でもさんざん言ったことです。

つまり、「n=0」のときと、「n=1」のとき「そうでないとき」で分けて考えなければいけないということです。

「n=0」の時を考えます。

上の増減表から最小値はありません(定義できない)。

「n=1」の時を考えます。