二つの2次方程式と整数解

二次関数

2026.01.18

こんにちは。Horyです。

今回の記事では二つの2次方程式が整数解を持つ条件を求める問題を解説します。

今回も頑張りましょう。

以下に示すのはこの記事で取り組む問題になります。

この問題を例に解説します。

問題を解く前の下準備から始めます。

いきなり、u>vで始めてもやりにくいので、問題にはないですが「u＝v」の時を考えてみます。

整数の定石である「約数×約数」形か？と思うかもしれませんが違います。

これは、uについて解くことで分数式が出てきます。

何らかの文字について解いて、何らかの文字の条件から絞り込みます(今回ならuという文字は0より大きい整数)。

以上からuは0より大きい整数なのでu＝4になります。

解と係数の関係から解くのもありです。

２次方程式の２解をそれぞれα,βと置きます。

以上からu=4と出ます。

これは整数の定石である(約数)×(約数)の形に帰着できる方法です。

本題のu>vの時です。非常に難しいです。

この不等式を無理やり登場させます。

ところで、「u>v」は「u－v>1」は「v－u<－1」という見方もできます。
(u－v>0かもだが、今回はuもvも0より大きい異なる整数だから、、、)

どっちの不等式を使うねん！と思うかもしれません。これが悩みどころだと思います。

ところで、２次方程式の解と係数の関係を考えてみましょう。

α,βのうち、一方が整数であればuもvも整数なので他方も必ず整数になります。

以上から２次方程式は２解が共に整数と見ていいです。

数値代入で不等式を登場させてみます。

以上のことから関数の0との大小関係によりこの２次方程式はー1～0の範囲に整数解を持ちます。

0の時は0より大なので、―1が整数解になります。

ここで、もう1つの２次方程式を登場させます。

求めたαとβを代入してみると・・・

以上から(u,v)=(6,5)であると言えます。

ちなみに、u>v ⇔ v－u<0であればtの２次方程式に－1を代入します。