こんにちは。Horyです。
前回の記事では簡単な関数を「x軸周り」・「y軸周り」に回転させたときの回転体の体積を求める問題に取り組みました。
今回の記事では二つの関数を軸周りに回転させたときの回転体の体積を求める問題に取り組みます。
意識すべきことは以下の3点です（x軸周りに回転させる）。
- 二つの関数の符号を意識する。
- 正の部分と負の部分をまたいでいるなら負の部分を正の部分に折り返す
- 折り返した後、大小関係の大きい方を優先する
この３点を意識しましょう。今回の問題も非常に重要な問題なので頑張りましょう。
問題1 ２つの三角関数の回転体
以下は二つの三角関数についての回転体を求める問題です。
この問題を例に取り組みます。
問題を解く前の下準備
まずは、問題を解く前の下準備です。グラフを描きます。
グラフを確認すると二つの関数が同じ側にありません。そのため、「y=-sin x」のグラフを正の部分に折り返します。
- 青い部分は√3 cos xが優先される・・・青い部分の体積V1
- オレンジの部分はsin xが優先される・・・オレンジの部分の体積V2
このように考えて問題を攻略していきます。
余談ですが、二つの関数の交点は三角関数の合成で導出します。
問題1 解答・解説
問題1の解答・解説です。
以上が解答になります。
問題2 放物線と直線による回転体
以下は放物線と直線による回転体を求める問題です。問題1と比較して複雑になります。
この問題を例に取り組みます。まぁ、本質的な手順は問題1と同じになります。
問題を解く前の下準備
まずは、問題を解く前の下準備です。図を描きましょう。
二つの関数は正の部分と負の部分をまたいでいます。負の部分を正の部分に折り返しましょう。
求める回転体が複雑です。こんな時こそフローチャートを使いましょう。
上のフローチャートを回転体の公式にあてはめればいいだけです。
問題2 解答・解説
フローチャートの通りに回転体の体積を導出します。
計算に関しては省略します。計算については多項式関数の積分なので自分でやってみてください。
