こんにちは。horyです。
前回の記事で等式の証明方法や不等式の証明方法の記事を書きました。
この中で基本問題を取り組みました。
今回の記事ではちょっと難しい不等式の証明問題に挑戦します。具体的には文字が3つある不等式や複数の式の大小関係を示す問題に取り組みます。
問題1 複数の式の大小関係を判定する問題
以下は複数の式の大小関係を判定する問題です。
この問題を例に解説します。
問題に取り組む前の下準備
最初に言っておきますが、このようなタイプの問題を見たら無策で挑んではいけません。
最初に必ず適当な値(簡単な値が望ましい)を代入して検討を立ててください。
今回はx,y,zを以下のように設定します。
設定した値が上のとき、式の値は以下のようになります。
よって、式の大小関係が予想できます。
この予想の元で大小関係を判断します。
「R-P」の実行
R-Pを実行します。正直、この不等式の証明が一番難しくテクニックがいります。
式変形は覚えるに値する価値があります。
３乗の項で係数が2のものが各文字について一つずつありますが、これを分離することに気づけるかどうかが鍵になります。
「P-Q」の実行
P-Qを実行します。R-Pほど難しくはないですが、この式変形も覚えるに値する価値があると思います。
二乗の形を作って上手いこと0以上を示す方法を用います。
以上より大小関係を示せました。
「Q-S」の実行
Q-Sを実行します。
以上より大小関係が示せました。
よって、予想通りの結果になりました。
問題2 一筋縄ではいかない3つの文字を含む不等式
一筋縄ではいかない3つの文字を含む不等式の証明問題です。
左辺から右辺を引いて0より大きいことを示すのは分かりますが、そこからどうすれば良いのか・・・といったところです。
二乗の形もできそうにないし・・・と言う感じです。
この不等式を示すには前回の記事で書いた予選・決勝法を応用するしかなさそうです。
手順としては以下の通りです。
- b,cを固定してaを動かしてどんな値より大きいかを求める
- 先に求めた値が0より大きいことを示す
この二つのステップを駆使することで解くことができます。
解答・解説
まずは、右辺から左辺の引き算を実行します。
bとcを固定してaを動かします。
以上から、上の式は傾きが負・切片が正の直線と見ることができます。
そのため、式の値はa=1の時の値より必ず大きくなります。
よって不等式を証明することができました。
