こんにちは。horyです。
整数分野の基本的な問題に不定方程式の整数解を求める問題があります。
今回はこれらの問題をパターンごとに網羅的に記事にまとめました。
不定方程式だけでなく、整数の問題全般で意識しなければならないことは以下の二つです。
- (約数)×(約数)の形にする
- 範囲の絞り込み
不定方程式の問題
さっそく今回取り組む問題です。
（１）の解答・解説
因数分解を用いて(約数)×(約数)の形にします。
この中でxとyが整数である物を考えるので答えは・・・
（2）の解答・解説
因数分解を用いて(約数)×(約数)の形にします。
定番問題(定石)の一つです。
（3）の解答・解説
因数分解を用いて掛け算の形にはできそうにないです。
そのため、この式を「xの二次方程式」と考えます。
実数解を持つことから判別式を用いて範囲を絞り込みます。
yを一つずつ代入してxが自然数になるものを見つけると・・・
（4）の解答・解説
この問題はちょっとしたテクニックが必要です。
この式が以下の式のように変形できると期待して、そのようになるa,bを求めます。
①と②のx,yの係数比較を行います。
abの係数が一致しないので差し引きで一致させます。
このように因数分解できるので後は（１）・（２）のように求めればいいです。
（5）の解答・解説
範囲の絞り込みを行います。
ただ、3次式なので判別式は使えません。
そのため、分数式を利用して絞り込みます。
yが自然数なので、赤い部分も自然数である必要があります。そのため・・・
x=1～14を代入してyが自然数になるものを求めます。
これは骨が折れますが、一から代入していってください。
