こんにちは。horyです。
前回の記事では「多項式関数の微分」「合成関数の微分」「積の微分」「商の微分」などの様々な微分公式を証明しました。
今回の記事では三角関数の微分公式を導出すると共に練習問題に取り組みます。
今回も頑張りましょう。
三角関数の微分
以下はこの記事で取り組む三角関数の微分公式です。
これらの公式を微分の定義に沿って導出します。
余談ですが、「加法定理」や「sinの極限公式」を用います。これらの定理・公式に関する記事はこちらをご覧ください。
三角関数の微分公式の証明方法はたくさんありますが、この記事では高校生でもできる証明方法を紹介します。
「sin x」の微分公式の導出
「sin x」の微分公式を定義に沿って導出します。
- 赤い部分→どう処理する？
- 青い部分→sinの極限公式
よって、与式は以下のように変形できます。
上の式で青い部分は1に収束し、緑の部分は0に収束します。
以上から「sinを微分するとcosになります。」
「cos x」の微分公式の導出
「cos x」の微分公式を定義に沿って導出します。
以上から「cosを微分すると-sinになります。」
「tan x」の微分公式の導出
「tan x」の微分です。定義に沿って微分しても良いですが「sin」「cos」の微分公式を導出したと共に「商の微分」を用いれば定義に沿って求めなくても微分ができます。
以上により「tan」の微分公式が導出できました。
三角関数の微分公式が導出できたので練習問題です。慣れるまでは練習あるのみです。
三角関数の微分 練習問題
以下はこの記事で取り組む練習問題です。
この問題を例に解説します。
余談ですが、以下のように表される関数は合成関数の微分を使わなくてもパッとできるようになってほしいものです。aを実数とします。
これらのことを踏まえて問題に取り組みましょう。
問題 解答・解説
