こんにちは。horyです。
今回の記事では三角関数と解の個数について記事をまとめました。
二次関数の記事でも解の個数に関する記事を書きましたが、考え方は全く同じです。
以下に二次関数と解の個数の記事を示します。必要なら読んでおいてください。
今回の記事では数Ⅲの微分を用いないのであれば、数Ⅱの線形計画法という方法を用います。
問題 三角関数と解の個数
以下はこの記事で取り組む問題です。
この問題を例に解説します。
まずは、三角関数の定石であるsinかcosのどちらかに統一します。
今回はsin2θ=tとおいてsinに統一します。
ここで分離を用います。
分離のやり方は数Ⅱの線形計画法を用いる方法と数Ⅲの微分を用いる方法の二通りあります。
数Ⅱの線形計画法を用いる
数Ⅱの線形計画法を用いる場合、以下の式のように分離します。
左辺を直線、右辺を二次関数と考えて以下の二式の交点がaの値によってどうなるかを考えます。これが線形計画法です。
数Ⅲの微分を用いる
数Ⅲの微分を用いるなら、以下の式のように分離します。
左辺を定数、右辺を分数関数と考えて二式の交点がaの値によってどうなるかを考えます。これは定数分離法です。
今回は数Ⅲの記事ではないので、線形計画法をメインに進めていきます。
数Ⅲの微分を用いる方法は別解としてサラッと書いておきます。
解答1 数Ⅱの線形計画法を用いる
直線と二次関数に分離します。
直線と二次関数の情報を以下に示します。
（1）解答・解説
以下に図を示します。
図と直線・二次関数の値域からも分かると思いますが、傾きが正であればtの範囲内で必ず交わることが分かります。
必要なら(1/2,0)を中心に傾きは正として定規を回転させてみてください。a>0なら必ずtの範囲内で二次関数と一つ以上の交点を持つことが分かります。
なので、一つ以上の解をもつaの値の範囲は「a>0」です。
（2）解答・解説
交点が傾きの大きさでどうなるかを考えます。
交点の数は以下のように場合分けできます。
- tの範囲内に交点が二つ・・・傾きがある値以下
- tの範囲内に交点が一つ・・・傾きがある値を超える
この「ある値」(特殊な場合)を求めることが鍵になりそうです。
以下に特殊な場合の図を示します。
上記の図より「a=1」を超えるかどうかがポイントになりそうです。
- tの範囲内に交点が二つ・・・傾きが2以下・・・aが1以下
- tの範囲内に交点が一つ・・・傾きが2を超える・・・aが1より大きい
交点のtの値がいくつのθに対応しているかをよく考えていただきたいです。
以上より、「aの値」による「tの個数」・「θの個数」は以下の表のように対応します。
解答2 数Ⅲの微分を用いる
数Ⅲの微分を用いる方法です。
今回は数Ⅲの記事なので、増減表や極限とかはやりません。
グラフのみ記載します。
「y=a」を動かすことで交点を求めてtの値とθの数を対応させてみてください。
線形計画法と同様の答えになります。
