こんにちは。horyです。
今回の記事では「三角形の成立条件」と「角と辺の関係」について記事を簡単にまとめました。
正弦定理や余弦定理に埋もれてしまい、三角形の成立条件のことは頭から抜けている人が多いと思います。
この記事を読むことが理解の手助けとなれば幸いです。
三角形の成立条件
三角形が成立するには以下のことが成立する必要があります。
- 点の一致がない
- 3点が一直線上にない
- 任意の1辺が他の2辺の差の絶対値より大きく、和より小さい
今回、紹介するのは「任意の1辺が他の2辺の差の絶対値より大きく、和より小さい」について詳しく紹介します。
「辺の長さ」をそれぞれa,b,cとおくと、具体的には以下の式が成立すればokです。
実際の問題では上の3式に適用すれば良いです。
上の3式をもっと厳密に書くと以下のようになります。
「辺の長さ」と「角度の大きさ」の関係
以下に三角形の図を示します。
余弦定理を適用します。
つまり、cosの値が大きいほど対辺の長さは大きいです。
これは結構大事なので覚えておいた方が良いです。
問題
以下はこの記事で取り組む問題になります。
この問題を例に解説します。
（1）解答・解説
三角形の成立条件を適用します。
上記の3式の共通部分より・・・
以上が答えとなります。
つまり、a>6の範囲であれば三角形ABCは三角形として成立します。
（2）解答・解説
最大の内角の対辺の長さも最大です。
つまり、三角形が成立する「a>6」の条件でどの辺が最大値を取るかを考えます。
引き算を実行して大小関係を考えます。
つまり、「a>6」の範囲で最大辺はABです。
辺の長さと角度の大きさは対応するのでABの対辺である角度Cが最大です。
