こんにちは。horyです。
今回の記事では三角形の内角・外角の二等分線と辺の比に関する有名定理の証明について記事を簡単にまとめました。
この記事の内容はベクトルなどで事あるごとに使用するので、必ず頭に入れておいてほしいです。
三角形の平行線に関する定理
三角形の内角・外角の二等分線と辺の比について説明する前に三角形の平行線に関する定理について触れなければならないです。
中学生の時に習ったと思いますが、忘れている人がかなり多いと思います。
ただ、この定理を理解しないと今回の証明も理解できないです。
以下に図を示します。
次の公式が成立します。
以下に証明をします。
まず、ABに平行な補助線を引きます(大事です)。
平行線の同位角や錯角が等しいことを利用すると以下のことが成立します。
また、四角形DEBFは平行四辺形であることが分かります。
三角形の内角の二等分線と辺の比
以下に図を示します。
図において、辺ADは∠BACの二等分線とします。
以下の式が成立することを証明します。
原理の証明
証明のために先ほどの図に細工した図を以下に示します。
図より以下のことが言えます。
上の二式を用いると、△ABEがAB=AEの二等辺三角形であることが分かります
ADとEBが平行であることを利用すると・・・
三角形の外角の二等分線と辺の比
以下に図を示します。
図において、辺ADは∠CAFの二等分線とします。
証明については内角の二等分線の時と同様なので自分でやってみてほしいです。
証明のヒント
ヒントとして以下に上の図を細工した図を示します。
BD：CD＝AB：ACを示してみてください。
