こんにちは。horyです。
今回は平面ベクトルに関する応用問題の１つで傍心が関わる問題に取り組みたいと思います。
傍心というとなじみがないので初見だととっつきにくいかもですが、一度でも問題を見るとなれると思うのでその意味もかねて兼ねてピックアップしました。
今回も頑張りましょう。
問題 平面ベクトルと傍心
以下は今回の記事で取り組む平面ベクトルと傍心に関する問題です。
この問題を例に解説します。
ちなみにですが、点Kは三角形OABの傍心の１つです。
問題を解く前の下準備
まずは問題を解く前の下準備です。
傍心とは何かと言うことについてはこちらの記事に載っていますが復習のためもう一度解説します。
- 傍心は三角形の一辺と他の二辺の延長戦に接する円の中心
- 傍心は１つの内角と他２つの外角の二等分線の交点
- 三角形１つに傍心は３つ存在
以下に三角形ABCの内心と３つの傍心の図を示します。
以上で下準備は完了です。
（１）解答・解説
（１）の解答・解説です。まずは状況を図示しまず。
まず、∠AOBの二等分線の直線ABとの交点をCとしてベクトルOCを求めます。
角の二等分線の性質からAC：CB = a：bとできるので・・・
Pが二等分線上の点であるので上記のように表すことが可能です。
（２）解答・解説
（２）の解答・解説です。傍心に関するベクトルを求める問題になります。
直線AKは∠CABの外角の二等分線です。
（１）では内角の二等分線を表しますが、（１）の表し方は外角の二等分線であっても使えます。任意の実数sを用いるとベクトルAKは・・・
また、OKは∠AOBの内角の二等分線です。これは（１）の内容をそのまま使えます。
赤い部分がスカラーであることが利用できます。
②と①は同じベクトルではありませんが同じ方向を向いたベクトルです。そのため、それぞれのベクトルについた係数の比が等しくなります。また、１次独立であることから・・・
