三角形の五心とその性質 まとめ

こんにちは。horyです。

三角形の五心には「外心・内心・重心・垂心・傍心」の5つがあります。

今回は記事ではこの5つの性質について簡単にまとめると共に、役立つ知識を紹介しようと考えています。

三角形の外心

三角形の3頂点を通る円の中心のことを外心といいます。

3頂点を通る円のことを外接円といいます。

外心は3頂点から等距離にあるので、3辺の垂直二等分線の交点が外心です。

以下に図を示します。

加えて、以下のことも重要です。

三角形の面積を外接円の半径を用いて求めることが可能です。

三角形の面積公式と正弦定理を用いて・・・

三角形の面積公式の一つとして頭に入れておいても良いです。

三角形の3辺に接する円のことを内心といいます。

3辺に接する円のことを内接円といいます。

内心は3辺から等距離にあるので、内角の2等分線の交点が内心です。

以下に図を示します。

三角形の面積を内接円の半径を用いて求めることが可能です。

底辺×高さ÷2を利用すると・・・

三角形の頂点と対辺の中点を結びます。これを中線と呼びます。

3頂点からの3中線は一点で交わります。

交点を重心と呼びます。

重心は各中線を頂点に近い方から2：1の比に分けます。

以下に図を示します。

三角形ABCを座標平面においたとき、ABCの重心Gは以下のように表せます。

各点の座標を成分ごとに足して3で割ったものが重心の座標です。

座標空間であっても同様です。

三角形の各頂点から対辺に下ろした垂線は一点で交わります。

この点を垂心といいます。

以下に図を示します。

三角形の1辺と他の2辺の延長線に接する円の中心を傍心といいます。

傍心は1辺と他の2辺の延長から等距離にあります。

一つの内角と他の2つの頂点の外角の2等分線の交点です。

一つの三角形に3つの傍心が存在します。

以下に図を示します。

三角形の五心のうち、「外心・内心・重心・垂心」の四心は特殊な三角形の場合、以下のようになります。

図形問題でこれらは応用できるので覚えておく価値ありです。