こんにちは。Horyです。
これまでの問題で正弦定理や余弦定理などの三角形の基本的な性質に関しては話してきたと思います。
今回の記事からは応用問題に取り組もうと思います。
その第一歩として本記事では1辺の長さが他の２辺の積になっている三角形について考察していこうと思います。
今回も頑張りましょう。
1辺の長さが他の２辺の積
以下に図を示します。
このような三角形ABCを考えます。
そして、辺の長さや角度を以下のように設定します。
考察 1；θの表現
考察1として、θをpとqの式で表現してみましょう。
- 辺の情報・・・３辺の長さが判明している
- 角の情報・・・角Aしか判明していない
以上のことから余弦定理を用いてcos θを表現するのが無難です。
以上により求めることができました。
考察2；和と積の表現
xとｙの和と積を表現してみましょう。
とりあえず、pをqとθで表すことは考察1によりできそうです。
これで、和と積をqとθの関数で表せますね。
考察３；θの具体化
考察2で和と積の関係をqとθで表しました。
θを具体的な数値に置き換えてみましょう。
何をさせたいのかというと、和と積が分かったということは二次方程式の解と係数の関係が分かったことに他なりません。
ということは、二次方程式が実数解を持つ範囲がこのような三角形が存在する条件になります。
θ=30°
このまま計算するのはめんどくさいしミスが起きるので数値の文字化を使います。
分母は正なので分子のみ見ればいいです。結局Nが0以上の条件を求めているにすぎません。
あとは上の二次不等式を解くだけです。
計算は複雑で正直に言うと、解けなくても全然いいです。
一応補足ですが、、、
- 二次方程式の左辺；0を代入しても0より大
- 軸の位置；0より大
上のことから判別式のみを調べればOKです。
θ＝45°
あとは上の二次不等式を解くだけです。
計算は複雑で正直に言うと、解けなくても全然いいです。
θ＝60°
これは計算も含めて自分の力でできてほしいですね。
ちなみに、等号が成立するのは、、、
よって、一辺の長さが1の正三角形の時です。
コメント