こんにちは。Horyです。
皆さんは三角形に円が内接する問題は見たことがあるかと思います。
一方で、三角形に長方形が内接する問題は見たことがないのではないでしょうか？
今回はそんな問題を考察します。
今回も頑張りましょう。
三角形に内接する長方形
以下に示す図形を考察します。
条件を以下に示します。
- ABCDは長方形；辺の長さは1とxである
- EFGは正三角形；一辺の長さはyとする
- ∠BAF＝θ
上のように条件を設定するとします。
考察；正三角形の一辺の長さ
まずは、正三角形の一辺の長さを考察してみます。
まぁ、θが分かっている三角形から攻めるのが得策ですね。
与えられた情報から他の角度の情報も割り出します。
- EFGは正△；∠EFG＝60°
- ∠BAF＝θ
- ∠ABF＝120°－θ
- 三角形BAF
- 角度；全ての情報が判明
- 辺；ABのみ判明
以上から正弦定理を用います。
AFの情報が分かったのでEAの情報をyで表せます。
- 三角形EAD
- 角度；全ての情報が判明
- 辺；ADのみ判明
以上から正三角形の一辺の長さが求まりました。
正三角形の一辺の長さをθで表すことができました。
一辺の長さの最大値や最小値を考察してみてください。
三角関数の合成を用いれば簡単ですよね。
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