こんにちは。Horyです。
三角形の問題では角を等分する問題がよく出ます。
今回の記事ではそんな問題を考察していこうと思います。
今回も頑張りましょう。
問題1；角の二等分
以下の図を考えます。
条件として0＜2θ＜πです。
この図形に関して考察します。頑張りましょう。
考察；逆数の和 (正弦定理)
pとqの逆数の和を考えてみます。
辺と角の情報が分かっているので正弦定理を用いたアプローチを使っていきます。
この場合、新しく角度θ1を定義する必要があります。
後は普通に足せばいいだけです。
違うのは分子だけなので、分子で加法定理を用います。
考察；逆数の和 (三角形の面積)
三角形の面積を導出することで逆数の和を求めていきます。
- △OPQ ＝ △OPR＋△OQR
本考察ではθ以外の角度は使いません。
問題2 角が二等分にならない
角が二等分にならないときもあります。以下の図をご覧ください。
気を付けてほしいのが線分RP,RQの長さがp,qとなっています。
まぁ、先ほどと同じように与えられた情報から全ての角度の情報をこじ開けていきます。
基本的にこのような問題では正弦定理や余弦定理の公式が使える最低限の手掛かりを導けば勝ちです。
- 正弦定理 (最低限)；
- 2辺＋対辺の角(1つでもOK)の情報
- (1辺or対辺の角)＋外接円の半径に関する情報
- 余弦定理 (最低限)
- 三角形の３辺の2辺＋２辺に挟まれた角度の情報
- 三角形の３辺の情報
よって、、、
- 角度に関する情報が多い；正弦定理
- 辺に関する情報が多い；余弦定理
今回は正弦定理を使いましょう。
考察1；逆数の和
正弦定理を用います。
以上により求めることができました。
考察2；θの関数として逆数を展開する
折角なので加法定理を展開してみます。
計算は面倒かもですが、この程度の計算が出来ないようでは話になりません！
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