こんにちは。horyです。
今回の記事は一部、大学の内容も含みます。
今日取り組むのは以下の２つの事項です。
- ロルの定理
- ラグランジュの平均値の定理
高校で習うのはラグランジュの平均値の定理ですが、定理に関して触れるだけでちゃんとした証明は行わないと思います。今回の記事ではそのことを証明します。
今回も頑張りましょう。
最大値・最小値の定理
ロルの定理や平均値の定理に関して説明する前に最大値・最小値の定理を説明します。
イメージしてもわかると思います。
裏を返せば、有限の範囲内で連続でなければ最大値また最小値はとらないということです。
以下に例を示します。
これを利用してロルの定理を証明します。
ロルの定理
ロルの定理とは以下の通りです。
ちょっとグラフを描いてみます。
条件を満たすグラフを描くと成り立つイメージはできますが、ちゃんと証明します。
ロルの定理の証明
ロルの定理を証明します。
ここで、微分係数を定義に沿って求めます。
以上のことから成立します。逆に、関数が常に「f(x)≦f(a)=f(b)」なら、「x=cで最小値をとる」ことを仮定して同様の議論に持ち込めば成立します(自分でやってみてください)。
ラグランジュの平均値の定理
高校数学で習う平均値の定理です。
このことを証明します。先ほど証明したロルの定理を用います。
ラグランジュの平均値の定理の証明
ここで、ロルの定理を用います。
よって、これをあてはめると・・・
ラグランジュの平均値の定理が示せました。
