こんにちは。horyです。
数学Aの図形の性質の分野における重要定理の一つにメネラウスの定理というモノがあります。
具体的には辺の比の掛け算が1になるという定理です。
みなさん。丸暗記していないでしょうか？
今回の記事ではメネラウスの定理とその逆について原理を証明したいと思います。
この記事を読んで暗記の負担が少しでも減れば嬉しいです。
メネラウスの定理
まず、メネラウスの定理とは以下のような条件で成立する定理のことです。
・条件
「△ABCと3点P,Q,RがBC, CA, ABの内文点・外分点とする」
- P,Q,Rのうち、2点が内分点・1点が外分点
- P,Q,Rの全てが外分点
条件を図に示します。
このとき、以下の定理が成立します。
・定理
この定理の成立を証明します。
メネラウスの定理の証明
まず、P,Q,Rが同一直線上にあるので、ABとPQは平行ではありません。
ABに平行な補助線COを考えます。
平行であることから次のことが成立します。
△PRBと△POCが相似であることからBPとPCの辺の比に対して以下の公式が成立します。
△QCOと△QARが相似であることからCQとQAの辺の比について以下の公式が成立します。
以上から・・・
確かに公式が成立します。
これはP,Q,Rのうち2点が内分点・1点が外分点の時の証明です。
P,Q,Rの全てが外分点のときの証明は自分でやってみてください。
メネラウスの定理の逆
メネラウスの定理の逆は以下の通りです。
条件は上の説明と同様として・・・
どうやって証明するかと思いますが・・・
直線QPとABの交点をR’とおいて、点RとR’が一致することを示すことで証明します。
つまり、点の一致を示すことで同一直線上にあることを示します。
メネラウスの定理の逆の証明
メネラウスの定理の逆の証明です。
まず、条件より・・・
これは用いても良いです。
①と②を比較すると青い部分だけが違います。
ただ、右辺は1となり同じなので、辺の比について以下のことが成立します。
よってRとR’が一致するのでP,Q,Rは同一直線上です。
