こんにちは。horyです。
皆さんはベクトルの１次独立と聞くと、学校の先生から「解答に書くように」とかって言われていると思いますが、意味を理解して書いている人は少ないような気がします。
今回はベクトルの１次独立と従属についての意味を簡単に説明すると共に、これに関する問題を解説しようと思います。
この記事を読む前に必要なら以下の記事を読んでおいてください。
ベクトルの１次独立とは・・・
２つのベクトルを考えます。以下のことが言えれば２つのベクトルは１次独立といえます。
- ３点O,A,Bが一直線上にない（点の一致もない）
- 直線OAとO’Bが平行ではない
逆に、以下のような場合は２つのベクトルは１次独立でない(従属している)といえます。
つまり、２つのベクトルが以下のように表せなければ２つのベクトルは互いに１次独立といえます。逆に以下の式のように表すことができれば２つのベクトルは従属していると言います。
問題 ベクトルの１次独立
以下に示すのは今回の記事で取り組むベクトルの１次独立に関する問題です。
この問題を例に解説します。
問題を解く前の下準備
問題を解く前の下準備です。
三点O,A,Bにより三角形ができることから以下のことが言えます。
- 点の一致がない
- O,A,Bが一直線上にない
だから、２つのベクトルは従属関係でないことが言えます。
ベクトルの１次独立の条件は座標平面上における三角形の成立条件と言い換えることもできます。
この問題ですが、背理法を用います。背理法については以下の記事を読んでください。
解答・解説
問題の解答・解説です。場合分けを伴う背理法を用います。
以上からα=β=0のとき２つのベクトルは１次独立であり、この時しか題意の式は成立しないです。
