こんにちは。horyです。
今回の記事ではベクトルの中でも非常に重要なベクトルの内積について説明します。
この記事の内容は非常に重要なので必ず理解していただきたいです。
この記事を読む前に以下の記事を読んでおくことをお勧めします。
今回も頑張りましょう。
ベクトルの内積
ベクトルの内積に関する説明です。
以下のような状況を考えます。
ちなみに、∠AOBは２つのベクトルのなす角と言います。
内積とは２つのベクトルに関する以下のような定義のことです。
これって具体的に何をやっているかよく分からないという意見をよく聞きますが、やっていることとしては「２つのベクトルがどれだけ似通っているか」というのをベクトルの大きさとcosθ(相関係数)で判断しています。
このことが社会において役に立つのかということですが僕は役に立つと思います。例えば、現代社会は情報にあふれています。「ベクトルの大きさ」と「ベクトルの方向」というのを以下のように置き換えてみます
- ベクトルの大きさ・・・情報の影響力
- ベクトルの方向・・・情報の方向性
このように置き換えると内積の値を読み取ることで２つの情報がどの程度似通っているかが分かります。
余談ですが、ベクトルの内積は必ず「・(ドット)」にしないとダメです。そうじゃないと減点されます。
上の3つのことの意識は必ず持ってください。
ベクトルとスカラー (復習)
以前の記事を読んでいる皆さんはベクトルとスカラーの違いは分かっていると思いますが復習として・・・
- ベクトル・・・向きと大きさを持つ量
- スカラー・・・大きさのみを持つ量
数直線・座標平面・空間の座標自体も原点を始点として考えれば「位置ベクトル」として考えることは可能で、原点が始点でなくても「方向ベクトル」と考えることができます。
- ベクトルの和はベクトル
- ベクトルの差はベクトル
- ベクトルのスカラー倍はベクトル
- ベクトルの大きさはスカラー
- ベクトルの内積はスカラー
- ベクトルの外積はベクトル(今回は触れない)
上のことが本当にそうであるが実践してみようと思います。
ベクトルの演算
先ほどの節で示したベクトルの演算を実際にやってみます。以下のように条件を設定します。
ベクトルの内積は成分同士を掛け算したモノを足していますが何故そうなるかを証明します。
座標平面におけるベクトルの内積
座標平面におけるベクトルの内積の原理を証明します。
点Oを原点として三角形OABに余弦定理を適用します。余弦定理に関する記事はこちらです。
だから、座標平面におけるベクトルの内積は成分同士の掛け算の和になります。
このことは3次元でも成立しますし、n次元でも成立します。
余談ですが、以下のことも成立します。
ちなみに、問題でよく使うのは・・・
- O(原点)が始点ベクトル→座標に移動
- 垂直条件→内積が0である
上の２つは覚えておきましょう。
