ベクトルとスカラーの違い　何故、平行四辺形の対角線なのか？

こんにちは。horyです。

今回からベクトルの話をしていきます。この記事ではベクトルを学び始めた人が最初に読む記事として、ベクトルとスカラーの違いを説明すると共に、ベクトルの和や差が何故、平行四辺形の対角線になるのかについて簡単に解説しようと思います。

今回も頑張りましょう。

ベクトルとスカラーの違い

まずは、ベクトルとスカラーについてです。

上に示したベクトルとスカラーの違いは必ず押さえてください。

ベクトルは向きと大きさを持ちます。そのため、原点を定めた数直線や座標平面・座標空間上の任意の点の座標も方向ベクトルと考えることができます。このようなベクトルを位置ベクトルと我々は読んでいます。

一方でスカラーは大きさだけを持った量です。数直線・座標平面上の二点間の距離(絶対値)等はスカラーと言うことができます。

ベクトルとスカラーの区別は必ずできるようになってください。位置ベクトルやベクトルの内積の話は別の記事でもやりますが・・・

上の意識は必ず持ってください。ベクトルとスカラーの区別は物理の分野で非常に重要です。式を立式したときに一方がベクトルで他方がスカラーになることは絶対にあり得ません(異なるものであるから等号関係は絶対に成立しない)。

口酸っぱく言いますが、ベクトルとスカラーを混同しないでください。

以下のカテゴリーに分けてベクトルの和と差を考えます。

以下に数直線上でのベクトルの和と差を示します。以下に図を示します。

数直線上でのベクトルの和と差は上に示すとおりです。

ところで、座標平面上でのベクトルの和と差が何故、平行四辺形の対角線になるのかについて説明します。

ただ、説明の前に直交に交わる２つのベクトルの和と差については押さえておきましょう。

先にも言いましたが、原点を設定した座標平面上では座標自体が向きと大きさを持つ量だとなるので座標そのものが方向ベクトルになります(数直線上でも同様)。

必要なら以下のベクトルも図示してみてください。

また、ベクトルの大きさについては座標平面の時と同じような手法で求めれば良いです。

上の図や式で示したことは点Oが原点でない時でも成立します。

座標平面上でのベクトルの和を考えます。以下の図のような状態を考えます。

ただし、２つのベクトルが平行でない(従属していない)です。

上の図を考えると、ベクトルの和が何故、平行四辺形になるのかが分かります。「斜めのベクトルを縦(y座標成分)と横(x座標成分)に分けて」考えています。

ベクトルの大きさについては座標平面と同様の手法で求めれば良いです。

上の図や式で示したことは点Oが原点でない時でも成立します。

座標空間でもベクトルの和・差は同様に定義できます。互いに平行でない3つのベクトルを用いるのでちょっと面倒かもですが・・・

また、以下のことも重要です。