こんにちは。horyです。
今回の記事も大学内容の記事でテイラーの定理とマクローリン展開について簡単に説明します。
今回話す内容は数学以外の様々な分野で利用されている内容なので高校数学の範囲を逸脱していますが理解してほしい内容になります。
ロルの定理を用います。ロルの定理に関してはこちらの記事に書かれています。
今回も頑張りましょう。
また、関数f(x)をn回微分することを以下のように表します。
テイラーの定理
テイラーの定理は任意の関数を次のように展開できることです。
このことを証明しようと思います。
テイラー展開の証明
以下はテイラー展開の証明です。
ここでロルの定理が使えます。
上の式で色のついた部分は全て消えます。
よってテイラーの定理が成立することが証明されました。ちなみに、「b<a」としても成り立ちます。
マクローリン展開(マクローリンの定理)
マクローリンの定理を拡張したものがテイラーの定理になります。
これがマクローリンの定理です。
一方で、この関数が区間内で無限回微分可能としたとき・・・
f(x)を上の式の右辺に示す無限級数で展開したものを関数のマクローリン展開といいます。
マクローリン展開とオイラーの式
以下に示すのはマクローリン展開の応用です。ここから導けるオイラーの式が数学以外の分野でも非常に重要です。
前回の記事で証明した不等式の右辺の無限級数になっていますね。
上で示した式の赤い部分と青い部分をよく見てください。以下の公式が成立します。
これが有名なオイラーの関係式です。
