こんにちは。horyです。
数学Aの図形の性質の分野における重要定理の一つにチェバの定理というモノがあります。
メネラウスの定理と同様に辺の比の掛け算が1になるという定理です。
みなさん。丸暗記していないでしょうか？
今回の記事ではチェバの定理とその逆について原理を証明したいと思います。
ちなみにメネラウスの定理は以下の記事に示しています。
この記事を読んで暗記の負担が少しでも減れば嬉しいです。
チェバの定理
まず、チェバの定理とは以下のような条件で成立する定理のことです。
・条件
「△ABCについて、P,Q,Rは三角形の内分点・外分点とする」
- P,Q,Rの3点共に内分点
- P,Q,Rのうち一点が内分点・二点が外分点
条件を図に示します。
このとき、以下の定理が成立します。
・定理
チェバの定理の証明
チェバの定理の証明はそんなに難しくありません。
以下に図を示します。先ほど示した図と同じですが念のためです。
ここで、三角形の面積と辺の比について以下のことが成立します。
- △OABと△OCA・・・底辺AOが共通
- △OBCと△OAB・・・底辺BOが共通
- △OCAと△OBC・・・底辺COが共通
よって、三角形の面積と辺の比について以下のことが成立します。
以上の式が成立するため・・・
以上によりチェバの定理は成立します。
今回はP,Q,Rの3点とも内分点の時を証明しました。
P,Q,Rのうち、一点が内分点・二点が外分点の時も同様の方法で証明ができるので自分でやってみてください。
チェバの定理の逆
チェバの定理の逆は以下の通りです。
条件は上の時と同様として・・・
どうやってやるかと思いますが、メネラウスの定理の逆と同様に点の一致を示します。
チェバの定理の逆の証明
今回はP,Q,Rが全て内分点の場合を証明します。
Q,Rがそれぞれ辺AC, AB上にあるとします。
二直線BQとCRの交点をOとして、AOとBCの交点をP’とします。
Oは二直線のAB,BCによってできて、∠BACの内部なので、AOとBCは必ず交わります。
前提条件(チェバの定理)より・・・
①と②が一致することから・・・
よってPとP’はBC上にあって、上の式が成立するので一致します。
以上から3直線AP, BQ, CRは一点で交わります。
