こんにちは。horyです。
前回の記事では特殊不等式の１つである相加・相乗平均についてまとめました。
今回の記事ではもう一つの特殊方程式であるコーシー・シュワルツの不等式について簡単にまとめようと思います。
ただ、僕個人の感想としてはコーシー・シュワルツの不等式は余り好きではありません。というのも、知っているか知らないかの知識問題的な側面があるからです。
ただ、一応、高校の教科書にも載っている内容なので簡単にまとめます。
コーシー・シュワルツの不等式に関する問題 その1
コーシー・シュワルツの不等式に関する問題 その1です。
問題から入った方が分かりやすいと考えたので問題からやります。
以上の問題を解説します。別にできなくても構いません。
(2)の不等式がコーシー・シュワルツの不等式です。
（１）解答・解説
普通に二乗の形を作れば証明完了です。
シグマの性質に１つにまとめて括れるという性質があるので・・・
以上により成立します。
（２）解答・解説
まず、文字を以下のように設定します。
(1)の不等式を上の文字で表してtの関数と考えます。
上の関数が0以上であることを証明できれば勝利です。
場合分けが２つ存在します。
- A=0のとき
- A≠0のとき
２つの場合について個別に解説します。
「A=0」のとき・・・
以上より、不等式は成立します。
「A≠0」のとき・・・
よって不等式が成立しました。
等号成立条件
等号成立条件について・・・
上の条件を式変形すると・・・
逆に上の式が成立するなら。。。
以上より、等号成立は以下のようになります。
二次方程式との関係
別のアプローチで証明します。任意の実数をxとします。
辺々を足します。
判別式Dが0以下になることで(2)の式が成立します。
n次元ベクトルとの関係
ベクトルに注目してみます。ベクトルを用いて証明します。
ベクトルを習っていない方は読み飛ばしてください。
ところで、n次元ベクトルのなす角をシータとすると二つのベクトルがどの程度同じ方向を向くかが分かります。つまり、cosθは相関係数という見方もできます。
このように定義すると・・・
なので、以下の式は当然成立します。
コーシー・シュワルツの不等式に関する問題 その２
コーシー・シュワルツの不等式に関する問題 その２です。
この問題について解説します。
解答・解説
問題その１でn=4と考えます。
上の青い式の左辺がAの二乗に当てはまります。
