こんにちは。Horyです。
今回の記事では積分で体積を求めることを日常生活に応用する問題に取り組みます。
皆さん、アイスクリームは知っていますよね。アイスとコーンがある感じのアイスクリームです。
アイスクリームとコーンの間に微妙な空間があると思います。その空間の体積を求めたくなったので、今回の記事ではそれについての問題に取り組もうと思います。
余談であり、何度も記事で説明していますが、立体図形の問題に挑むときは以下のことを意識します。
- 自分に都合のいいように座標を設定
- 回転軸に垂直に切る(3次元⇒2次元)
- 回転軸を含む平面で切る(3次元⇒２次元)
これを意識しましょう。立体図形に立ち向かう上での登竜門的な問題は以下の記事に詳しく書いてあります。数Ⅲの知識を必要としないので腕試しにどうでしょう？
アイスクリームに関する積分
以下に示すのはアイスクリームの積分に関する問題です。
この問題に取り組もうと思います。非常に難しい問題に見えますが、見掛け倒しだったりします。頑張りましょう。
問題の攻略法
この問題は手順がかなり複雑なので要所要所のポイントを箇条書きでまとめます。
- まずは立体図を描く
- 平面Aに垂直に切って断面を観察 (３次元⇒２次元化)
- 断面を観察して領域Kと領域Dを明確化
- 都合のいいように座標設定と共に接点と頂点の座標 (相似の利用)
事前準備① 立体図を描く
まずは、立体図を描きます。これは最初に必ずやってください。
これだとなんとなくわかりにくいのでやはり、平面Aに垂直に切って観察します。
事前準備② 断面図と座標の設定
次に自分の都合のいいように座標を設定するとともに断面図を観察します。
上のようにアイスクリームの中心を原点とした座標を考えると都合がいいです。
- オレンジの斜線部の回転体・・・K
- 緑の斜線部の回転体・・・D
また、最後の課題はPの座標をどうやって決めるかです。
直角三角形OTPと直角三角形OT’Tが相似関係であることを利用できますね。
これで全ての準備が完了しました。
空間の体積を求める
それぞれの体積を以下のように決定してあげます。
- Dの体積・・・Vd
- Kの体積・・・Vk
- DとKの体積の和は円錐だ
- Vd=(Vd+Vk)-Vk
それぞれの体積を求めてみましょう。
Dの体積がアイスの体積の半分に等しいので・・・
以上が解答です。計算は所々省略しました。
これで、アイスクリームとコーンの間のあの微妙な空間の体積を求めることに成功しました！
